罗巴切夫斯基创立非欧几何艰难历程

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1、罗巴切夫斯基创立非欧几何的艰难历程 　　 　　 1893年，在喀山大学树立起世界上第一个数学家的塑像。这位数学家就是俄国的伟大学者 、非欧几何的创始人之一罗巴切夫期基（H.N.JIoqaheBCKNN，1792-1856）。非欧几何是人 类认识史上一个富有创造性的伟大成果，它的创立，不仅带来了近百年来数学的巨大进步 ，而且对现代物理学、天文学以及人类时空观念的变革都产生了深远的影响。可是，这一 重要的数学发现在罗巴切夫斯基提出后相当长的段时间内，不但没能赢得社会的承认和赞 美，反而遭到种种歪曲、非难和攻击，

2、使非欧几何这一新理论迟迟得不到学术界的公认。 　　   失败的启迪   罗巴切夫斯基是在尝试解决欧氏第五公设问题的过程中，从失败走上他的发现之路的。欧 氏第五公设问题是数学史上最古老的著名难题之一。它是由古希腊学者最先提出来的。公 元前3世纪，希腊亚历山大里亚学派的创始者欧几里得（Euclid，约公元前330年-前275） 集前人几何研究之大成，编写了数学发展史上具有极其深远影响的数学巨著《几何原本》 。这部著作的重要意义在于，它是用公理法建立科学理论体系的最早典范。在这部著作中 ，欧几里得为推演出几何学的

3、所有命题，一开头就给出了五个公理（适用于所有科学）和 五个公设（只应用于几何学），作为逻辑推演的前提。《几何原本》的注释者和评述者们 对五个公理和前四个公设都是很满意，唯独对第五个公设（即平行公理）提出了质疑。     第五公设是论及平行线的，它说的是：如果一直线和两直线相交，所构成的两个同侧内角 之和小于两直角，那么，把这两直线延长，它们一定在那两内角的侧相交。数学家们并不 怀疑这个命题的真实性，而是认为它无论在语句还是在内容上都不大像是个公设，而倒像 是个可证的定理，只是由于欧几里得没能找到它的证明，才

4、不得不把它放在公设之列。     为给出第五公设的证明，完成欧几里得没能完成的工作，自公元前3世纪起到19世纪初，数 学家们投入了无穷无尽的精力，他们几乎尝试了各种可能的方法，但都遭到了失败。罗巴 切夫斯基是从1815年着手研究平行线理论的。开始，他也是循着前人的思路，试图给出第 五公设的证明。在保存下来的他的学生听课笔记中，就记有他在1816--1817学年度向何教 学中给出的几个证明。可是，很快他便意识到自己的证明是错误的。前人和自己的失败从 反面启迪了他，使他大胆思索问题的相反提法：可能根本就不存在第

5、五公设的证明。于是 ，他便调转思路，着手寻求第五公设不可证的解答，这是一个全新的，也是与传统思路完 全相反的探索途径。罗巴切夫斯基正是沿着这个途径，在试证第五公设不可证的过程上发 现一个新的几何世界的。   那么，罗巴切夫斯基是怎样证得第五公设不可证的呢？又是怎样从中发现新几何世界的呢 ？原来他创造性地运用了处理复杂数学问题常用的一种逻辑方法--反证法。   这种反证法的基本思想是，为证“第五公设不可证”，首先对第五公设加以否定，然后用 这个否定命题和其它公理公设组成新的公理系统，并由此展开逻辑推演。假设第

6、五公设是 可证的，即第五公设可由其它公理公设推演出来，那么，在新公理系统的推演过程中一定 能出现逻辑矛盾，至少第五公设和它的否定命题就是一对逻辑矛盾；反之，如果推演不出 矛盾，就反驳了“第五公设可证”这一假设，从而也就间接证得“第五公设不可证”。     依照这个逻辑思路，罗巴切夫斯基对第五公设的等价命题普列菲尔公理“过平面上直线外 一点，只能引一条直线与已知直线不相交”作以否定，得到否定命题“过平面上直线外一 点，至少可引两条直线与已知直线不相交”，并用这个否定命题和其它公理公设组成新的 公理系统展开逻辑

7、推演。在推演过程中，他得到一连串古怪的命题，但是，经过仔细审查 ，却没有发现它们之间含有任何罗辑矛盾。于是，远见卓识的罗巴切夫斯基大胆断言，这 个“在结果中并不存在任何矛盾”的新公理系统可构成一种新的几何，它的罗辑完整性和 严密性可以和欧几里得几何相媲美。而这个无矛盾的新几何的存在，就是对第五公设可证 性的反驳，也就是对第五公设不可证性的逻辑证明。由于尚未找到新几何在现实界的原型 和类比物，罗巴切夫斯基慎重地把这个新几何称之为“想象几何”。   在冷漠中宣告新几何诞生　　   1826年2月23日，罗巴切夫

8、斯基于喀山大学物理数学系学术会议上宣读了他的第一篇关于非 欧几何的论文《几何学原理及平行线定理严格证明的摘要》。这篇首创性论文的问世，标 志着非欧几何的诞生。然而，这一重大成果刚一公诸于世，就遭到正统数学家的冷漠和反 对。   参加2月23日学术公议的全是数学造诣较深的专家，其中著名的数学家、天文学家西蒙诺夫 （A.M.CИMOHOB），有后来成为科学院院士的古普费尔（A.R.KYI-Iφep）以及后来在数学 界