柯西不等式及排序不等式

《柯西不等式及排序不等式》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、柯西不等式与排序不等式一、基本概念：（一）定理1：二维形式的柯西不等式若都是实数，则，当且仅当时，等号成立.证明：（一）代数证明：当且仅当时，等号成立.（二）向量证明：构造向量，则有其坐标形式即为当且仅当共线或时等号成立，即当且仅当时，等号成立.推论1：（来源于向量证明中）推论2：（将原式中都变为）定理2：柯西不等式的向量形式设是两个向量，则当且仅当是零向量，或存在实数，使时，等号成立.证明：上述向量证明已经说明完毕定理3：二维形式的三角不等式设，那么证明：即原命题的证（二）一般形式的柯西不等式设是实数，则当且仅当或存在一个数，使得时，等号成立.简记作：平方和的

2、乘积大于等于乘积和的平方分析：我们可以利用空间向量很容易证明出三维形式的柯西不等式，但维数再高时就没有几何模型可以构造证明了，那么如何证明这一重要的不等式呢？证明：（一）构造二次函数：，（二）归纳法和平均值不等式：（1）当时，有即命题成立（2）假设当时命题成立，当时，由于由平均值不等式，得由归纳假设得由（1）（2）得原命题成立（三）构造单调数列：构造数列，其中则即，所以单调减少，从而对一切，有，故命题成立.（四）归纳法证明更强的结论：（1）当时，（2）假设当时命题成立，当时，由归纳假设由（1）（2）得原命题成立（三）柯西不等式的变形形式变形1：已知都是实数，求证

3、：说明：此变形为的特殊形式，经过整理，在都为正数的条件下可变为均值不等式变形2：已知都是实数，则：变形3：已知同号且不为0，则：上述各种形式如果灵活运用会给解决问题带来便利.（四）排序不等式设为两组实数，是的任一排列，则，当且仅当或时，反序和等于顺序和简记作：反序和乱序和顺序和证明：设为两组实数，是的任一排列，因为得全排列有个，所以（1）的不同值也只有有限个（个数），其中必有最大值和最小值，考虑（1）式，若，则有某，将（1）中对换，得（2）这说明将（1）中的第一项调换为后，和式不减小.若则转而考察，并进行类似讨论.类似的，可以证明，将（1）中的第一项换为，第二项

4、换为后，和式不减小，如此继续下去，经有限步调整，可知一切和数中，最大和数所对应的情况只能是由小到大排序的情况，最大和数是顺序和，即顺序和乱序和同样可证，最小和数是反序和，即乱序和逆序和二、习题精练：【柯西不等式应用】（一）求最值例1：设，求证：．例2：设，求证：例3：设，求证：例4：，求的最小值________例5：，求的最大值_________1.的最小值为_________2.，最小值为_________43.最小值为__________94.已知且，则的最小值为___________5.已知则的最小值为_______366.最大值为_________7.，

5、的最大值为______8.求函数的最大值__________________5解：9.若，且，则的最大值是________10.若，且，则的最大值是________11.若实数满足则的最大值是________12.若的最小值为_________13.设恒成立，则n的最大值是_________414.（06陕西）已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为（C）（Ａ）8　　　　（Ｂ）6　　　　（C）4　　　　（D）215.（08浙江5）,且，则(C)（A）（B）（C）（D）16．设a、b为正数，且a+b≤4，则下列各式中正确的一个是（B）A．B．C．D．17.

6、设实数满足，，求的最大值解：，，根据柯西不等式有，解得，当时，有最大值（二）证明例：求证：1.已知，求证：2.已知，且，求证：3.为三角形三边，求证：4.已知，，求证：5.设，求证：6.若，求证：7.且，求证：证明：8.且，求证：证明：同上9.在中，设其各边长为，外接圆半径为R，求证:10.设为任意实数，求证：证明：由柯西不等式得对，有对，有，故有则有原命题得证【排序不等式应用】例1：已知为正数，求证：例2：已知为正数，求证：（利用同向可加性）1.（08江西）若，则下列代数式中值最大的是（A）A．B．C．D．2.3．，求证：证明：由对称性不妨设，则，，则为顺序和

7、，则有同理同向相加，有因为，所以，同理，原式得证4.设为两两各不相同的正整数，求证：对任何正整数n，均有（IMO20-5）证明：设是的从小到大的有序排列，即因为是互不相同的正整数，则，又因为，所以由排序不等式可得（乱序）（倒序）原命题成立，此题即为课后练习题5.设为正数，求证：（可用排序和柯西两种不等式证明）6.在中，求证：证明：不妨设，于是由排序不等式得，，同向相加可得，从而又由，有从而由此原命题得证