第十五讲数学竞赛试题选讲

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1、第十五讲数学竞赛试题选讲例1计算：（1+3+5+…+1989）-（2+4+6+…+1988）（1988年北京市小学数学奥林匹克邀请赛试题）　　解法1：　　原式=[（1989+1）÷2]2-（1988÷2）×（1988÷2+1）　　=9952-994×995　　=995×（995-994）　　=995．　　解法2：去括号，得　　原式=1+3+5+…+1989-2-4-6-…-1988　　=1+（3-2）+（5-4）+…+（1989-1988）　　　　=995．　　说明：解法1是应用两个常见的公式：　　前n个奇数的和　　1+3+5+…+（2n-1）

2、=n2．　　前n个偶数的和　　2+4+6+…+2n=n×（n+1）．　　解法2是采用适当分组的方法转化为相同加数的加法问题，即将低级运算（加法）转化为高级运算（乘法）．例2计算：1+2+3+4…+99+100+99+…+4+3+2+1　　解：运用加法的交换律与结合律，得　　原式=（1+99）+（99+1）+（2+98）+（98+2）+…　　+（50+50）+100　　　　=100×100　　=10000．　　说明：由本例可以推广为一般公式：　　1+2+3+…+（n+1）+n+（n-1）+…+3+2+1=n2．例3计算：1×2+2×3+3×4+…

3、+100×101　　分析根据题目数据的特点，把各加数作如下恒等变形：　　1×2=（1×2×3）÷3；　　2×3=（2×3×4-1×2×3）÷3；　　3×4=（3×4×5-2×3×4）÷3；　　…　　100×101=（100×101×102-99×100×101）÷3；然后运用拆项对消的方法即可计算出和式的结果．　　解：原式=[1×2×3+（2×3×4-1×2×3）+（3×4×5　　-2×3×4）+…+（100×101×102-99　　×100×101）]÷3　　=[1×2×3+2×3×4-1×2×3+3×4×5　　-2×3×4+…+100×10

4、1×102-99×100　　×101]÷3　　=100×101×102÷3　　=343400．　　说明：本题可以推广为一般公式：　　1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）=n×（n+1）×（n+2）÷3．例4计算：　　解：因为　　111111111=9×12345679，　　于是有　　　　（由乘法结合律）　　　　　　例5在下面各数之间，填上适当的运算符号和括号，使等式成立：106932=48（1994年北京市小学生“迎春杯”决赛试题）　　解：填法不唯一．下面给出几种常见的填法：　　10×6-（9-3）×2=48；　　（10+6）×（9-3×

5、2）=48；　　10+6×（9-3）+2=48；　　10×（6+9）÷3-2=48；　　（10+6）×（9-3）÷2=48．　　说明：在欧美流行一种数学游戏：试用4个给定的自然数经过四则运算的结果等于24．本例与这种游戏是类似的，它们对于发展学生的数学思维是十分有益的．例6右图中六个小圆圈中的三个分别填有15、26、31三个数．而这三个数分别等于和它相邻的两个空白圆圈里的数的和，那么，填在三个空白圆圈里的数中，最小的一个数是______．　　解：设15与26之间的圆圈里的数是a，　　26与31之间的圆圈里的数是b，　　15与31之间的圆圈里的数

6、是c，　　依题意，有　　a+b=26，b+c=31，a+c=15；　　于是可知2（a+b+c）=26+31+25，　　即a+b+c=36；　　因此，最小数是：a=36-31=5．　　b、c、d、e、f、g、h是0、1、2、…、9中的8个不同整数且a≠　　分析本题可转化为如下数字迷：　　解：先确定g=0，c=9．　　假设竖式加法中，十位数字g≠0或者个位数字h+4≥10，则百位上的数字b=f，不合题意．因此，可以推断g=0且h+4＜10．于是c=9．　　　　≠a，则取a=8，而f≠0=g且f=b+1，故有f+9＞10，于是e=6；其次应该使百位数

7、字b尽可能大，由b与f是相邻自然数，则取b=4、f=5；最后令个位数字d尽可能大，则取d=7，故有h=3．这样就得到A的最大值为：8497+6503=15000．　　类似地，要使A尽可能小，依次取a=3、e=1，b=4、f=5，d=6、h=2．这样就得到A的最小值为：　　3496+1502=4998．例8如右图，AB、CD、EF、MN互相平行，则右图中梯形的个数与三角形的个数相差多少？　　　解：首先计算右图中三角形的个数．由于所有三角形都以O点为顶点；且以AB或CD或EF或MN上的线段为底的三角形各有：　　4+3+2+1=10（个）．　　因此，

8、图中一共有三角形：　　10×4=40（个）．　　其次计算上图中梯形的个数．由于从AB、CD、EF、MN中任意选出两条为上、下底时各有梯形：　　4+3+