向量及空间想象力

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1、向量与空间想象能力首都师范大学王尚志北大附中张思明首都师范大学胡凤娟西安市教研室汪香志内容摘要：向量是高中数学课程的重要组成部分。高中数学教师有必要对高中向量部分有一个正确的理解。本文将阐述用向量来处理立体几何问题能使问题变得简单，同时又不削弱空间想象能力的发展。本文将对以下几个部分进行讨论：空间想象能力与高中几何课程目标，高中几何概念与空间向量，距离、交角与算法，三垂线定理与空间向量，用空间向量讨论立体几何的某些问题，我们提供一些思考的角度，希望通过这些讨论，提供高中数学教师理解高中几何中的向量。关键词：空间向量，空间想象能力，三垂线定理，距离，交角1、空间想象力与高中几何课程目标《普通高

2、中数学课程标准》在“课程目标”中指出：“提高空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据推理等基本能力”；《普通高中数学课程标准》在“内容标准”中指出：“三维空间是人类生存的现实空间，认识空间图形，培养和发展学生的空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力，是高中阶段数学必修系列课程的基本要求”。在高中数学中，“空间想象能力”的培养是依托内容实现的，在必修2的几何课程中，直观图、三视图、空间基本图形（点、线、面）的位置关系等是培养“空间想象能力”的载体，对于希望在理、工科发展的学生来说，选修2中“空间向量与立体几何”是培养“空间想象能力”的又一载体。在学习这些内容

3、的过程中，提升学生的“空间想象能力”；“空间想象能力”的增长，又有助于学生理解这些内容的数学本质，内容的学习与能力的培养是不可分割的。例如：“逻辑推理能力”的培养，是可以用多种载体来实现的，下象棋、下围棋、打桥牌等都有助于培养“逻辑推理能力”，在数学课程中，我们是通过具体的数学内容来培养“逻辑推理能力”的；反之，“逻辑推理能力”的增长，有助于对设定的数学内容的理解。“内容目标”和“能力目标”是相辅相成的。在这里，我们着重来讨论“空间向量与立体几何”与培养“空间想象能力”之间的关系。首先，我们应该清楚“空间向量与立体几何”要解决的基本问题，主要是讨论基本图形（点、线、面）的位置关系，而主要是平

4、行关系和垂直关系，这两种关系是数学中的基本关系，在大学的几何课程和其他数学课程中，这两种关系都起到非常重要的作用；另一个任务是讨论空间图形的度量关系，主要是距离和角度，面积和体积及其他度量关系在大学还会继续学习。在与这些问题有关的概念、求解过程、定理的证明和应用学习过程中，提升“空间想象能力”。“空间向量”是学习的内容，也是提升“空间想象能力”的载体，同时也是研究空间图形性质的基本工具和方法，不仅在讨论高中几何中有重要的作用，这种方法在以后的数学学习中，也是基本的和重要的，是我们老师经常说的“通性通法”。有人指出：“空间想象能力”是“对于客观事物的空间形式（形状、结构、度量及位置关系）及其符

5、号表示想象和再造想象的能力”，而培养学生的“空间想象能力”应结合观察力、记忆力和思维能力的提高来进行。这些观点一定要结合学习的内容，射影几何有射影几何的内容，泛函有泛函的内容等，它们都是培养“空间想象能力”的载体。2、高中几何概念与空间向量在这里我们主要讨论距离、角度等概念与向量的关系，即用向量的观点认识距离和角度与综合几何认识距离和角度之间的差异，以及对“空间想象能力”的影响。(1)距离空间距离问题主要是点到直线、两平行直线、两异面直线、点到平面、平行于平面的直线与该平面、两平行平面之间的距离，而其中点到直线、点到平面的距离是基础，其他几种距离问题一般都可以化归为求这两种距离。“点到直线的

6、距离”的定义：过点向直线作垂线，垂足为则线段的长就是点到直线的距离；用向量的方法理解：先确定直线的方向向量，再在点和直线确定的平面上，找出直线的法向量，然后在直线上任取一点，确定向量，那么向量在向量上的投影的绝对值就是“点到直线的距离”。“点到平面的距离”：根据已知点是平面外的任意一点，过点作，垂足为A，则唯一，的长是点到平面的距离。用向量的方法加以理解：先描述平面的方程，再求出平面的法向量，然后在平面直线上任取一点，确定向量，那么向量在向量上的投影的绝对值就是“点到平面的距离”。“平行于平面的直线与该平面的距离”可以转化为“点到直线的距离”问题，即：“平行于平面的直线与该平面的距离”可以看

7、成是直线上任意一点到平面的距离。“两平行平面的距离”：指两平面之间的距离。即：平面的法向量在两平面之间的长度，是图五中的长度。“异面直线的距离”：指两异面直线的公垂线在这两异面直线间的线段的长度。这里公垂线并不好找，那么我们有两种方法来转化这个问题：设两异面直线为。第一种是：在直线上分别任意取两点，过点作直线，则与可以确定一个平面；再过点作直线，则与可以确定一个平面，则平面与平面之间的距离就是异面直线之间的距