左孝凌离散数学课件3.7 复合关系和逆关系

左孝凌离散数学课件3.7 复合关系和逆关系

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1、引例:a、b、c三人,若设R={}是兄妹关系,S={}是母子关系,则T={}是舅甥关系即T是R与S的复合。一、复合关系1、复合关系(关系的复合运算)定义3-7.1:设X、Y、Z是三个集合,R是X到Y的关系,S是Y到Z的关系,则RS称为R和S的复合关系,表示为RS={xXzZ(y)(yYRS)}。从R和S求RS,称为关系的合成运算。一、复合关系XYZ说明:R与S能进行复合的必要条件是R的值域所属集合Y与S的前域所属集合Y是同一个集合。RS例:X={1,2,3,4,5},Y={3,

2、4,5},Z={1,2,3},R是X到Y的关系,S是Y到Z的关系:R={

3、x+y=6}={<1,5>,<2,4>,<3,3>},S={y-z=2}={<3,1>,<4,2>,<5,3>},求RS则RS={<1,3>,<2,2>,<3,1>}另可以用推导:∵x+y=6,y-z=2,消去y得x+z=4一、复合关系①②③④⑤③④⑤①②③R1R2XYZ一、复合关系例:集合X={x,y,z,d,e},R={},S={},则RS={},SR={<

4、d,y>,},RR={},SS={}一、复合关系p114例题1:令R={<1,2>,<3,4>,<2,2>},S={<4,2>,<2,5>,<3,1>,<1,3>},试求RS,SR,R(SR),(RS)R,RR,SS,RRR。解:RS={<1,5>,<3,2>,<2,5>}SR={<4,2>,<3,2>,<1,4>}R(SR)={<3,2>}(RS)R={<3,2>}RR={<1,2>,<2,2>}SS={<4,5>,<3,3>,<1,1>}RRR={<1,2>,<2,2>}关系

5、的复合运算,满足结合律。一、复合关系p115例题2:设R1和R2是集合X={0,1,2,3}上的关系,R1={

6、j=i+1或j=i/2},R2={

7、i=j+2}试求R1R2,R2R1,R1R2R1,R1R1,R1R1R1。解:R1={<0,1>,<1,2>,<2,3>,<0,0>,<2,1>}R2={<2,0>,<3,1>}R1R2={<1,0>,<2,1>}R2R1={<2,1>,<2,0>,<3,2>}R1R2R1={<1,1>,<1,0>,<2,2>}R1R1={<0,2>,<1,3>,<1,1>,<0,1>,<0

8、,0>,<2,2>}R1R1R1={<0,3>,<0,1>,<1,2>,<0,2>,<0,0>,<2,3>,<2,1>}关系的n次幂:设R是X上的二元关系,nN,则关系的n次幂R(n)定义为:(1)R(0)=x;(2)R(n+1)=R(n)R说明:如果R是X到Y的关系,且X≠Y,则R2是无意义的,因为RR是无法复合的。定理:设R是集合X上的二元关系,m,nN,则(1)R(m)R(n)=R(m+n)(称第一指数律)(2)(R(m))(n)=R(mn)(称第二指数律)此定理证明可以用数学归纳法加以证明。说明:第三指数律(RS)(n)=R(n)S(n

9、)一般是不成立的。因为:(RS)(2)=(RS)(RS)=R(SR)S,R(2)S(2)=(RR)(SS)=R(RS)S,只要交换律不成立,第三指数律不成立。例:设X={1,2,3,4,5},X上关系R为R={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>,<4,5>},则:R(0)=x={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>},R(1)=RR(2)={<1,1>,<2,2>,<1,3>,<2,4>,<3,5>}R(3)={<1,2>,<2,1>,<1,4>,<2,3>,<2,5>}R(4)={<1,1>,<2,

10、2>,<1,5>,<2,4>,<1,3>}R(5)={<1,2>,<1,4>,<2,1>,<2,3>,<2,5>}一、复合关系关系矩阵:设集合X={x1,x2,…,xm},Y={y1,y2,…,yn},Z={z1,…,zP},R是X到Y的关系,其关系矩阵MR=(uij)m×n,S是Y到Z的关系,其关系矩阵MS=(vjk)n×p,复合关系RS是X到Z的关系,其关系矩阵MRS=(wik)m×p,则wik=(uijvjk)。j=1n一、复合关系例题3:给定集合A={1,2,3,4,5},在A上定义两个关系。R={<1,2>,<2,2>,<3,4>},S={<1,

11、3>,<2

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