浅谈中考数学“开放性问题”

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1、浅谈中考数学“开放性问题”　　浅谈“开放性问题”　　　　所谓的开放性试题是指那些条件不完整，结论不确定的数学问题。开放题的特征很多，如条件的不确定性，它是开放题的前提；结构的多样性，它是开放题的目标；思维的多向性，它是开放题的实质；解答的层次性，它是开放题的表象；过程的探究性，它是开放题的途径；知识的综合性，它是开放题的深化；情景的模拟性，它是开放题的实践；内涵的发展性，它是开放题的认识．过程开放或结论开放的问题能促使考生积极探究问题情景，鼓励学生多角度、多侧面、多层次地思考问题，有助于充分调动学生的潜在能力．　　

2、题型1　条件开放与探索　　条件开放探索题的明确特征是缺少确定的条件，问题所需补充的条件不是得出结论的必要条件，所需补充的条件不能由结论推出。　　例1.(04苏州)已知（x1，y1），(x2，y2)为反比例函数y=k/x图象上的点，当x1＜x2＜0时，y1＜y2，则k的一个值可为___________（只需写出满足条件的一个k的值）　　【解析】此类开放性试题一般需要结合分类讨论的数学思想进行解题：　　由于反比例函数的图像有两支，且当k取正、负值时其函数图像所处象限不同，故要进行分类讨论：　　①k>0且x1＜x2＜0时

3、，反比例函数的图像分布在第三象限，在此象限，y值随着x值的增加而减小，故不可能；　　②k且x1＜x2＜0时，反比例函数的图像分布在第二象限，在此象限，y值随着x值的增加而增大，故只要k，都可以满足题意要求。　　本题只要任填一个负数即可。　　像本题一样，条件开放性试题主要解题思路是把结论作为条件，采取逆向思维进行探索，执果索因。　　　　题型2　结论开放与探索。　　给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论，并且符合条件的结论往往呈现多样性，或者相应的结论的“存在性”需要解题者进行推断，甚至要求解题者探求条件在变化

4、中的结论，这些问题都是结论开放性问题．它要求解题者充分利用条件进行大胆而合理的猜想，发现规律，得出结论，这类题主要考查解题者的发散性思维和所学基本知识的应用能力。　　例1（05湖南湘潭）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，D为垂足．由以上两个条件可得________．(写出一个结论)　　　　【解析】本题答案是开放的，并不唯一，当然本题难度并不高，但如果填写∠ADC=90°就不对了，为什么呢？可以看一下题目要求，“由以上两个条件可得”，显然，题中两个条件都要用上，这就要求我们在解题的时候要尽量地全面和准确。　

5、　　　例2（04徐州）如图，⊙Ol与⊙O2相交于点A、B，顺次连结0l、A、02、B四点，得四边形01A02B．　　　　（1）根据我们学习矩形、菱形、正方形性质时所获得的经验，探求图中的四边形有哪　　些性质?(用文字语言写出4条性质)　　性质1．公共弦和连心线垂直；　　性质2．公共弦被连心线平分；　　性质3．四边形关于连心线对称；　　性质4．∠A=∠B．　　（2）设⊙O1的半径为R，⊙O2的半径为r(R＞r)，0l，02的距离为d．当d变化时，四边形01A02B的形状也会发生变化．要使四边形01A02B是凸四边形(

6、把四边形的任一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线同一旁的四边形)．则d的取值范围是R-r。　　【解析】这类型题目一般情况下难度不大，比如本题中的第一问，如果需要，我们还可以写出很多这样的结论如：∠AO1B+∠AO2B=180°，O1A=O1B等等，但要求我们一定要认真仔细地进行审题,清楚像例1中的要求和例2中凸四边形的概念等。处理这类顺向思维、执因索果的问题，只要能认真审题，结合基础知识，一定能将之解决。　　本类问题还有一些结论不太明确、需要进行先猜想再验证的题目，如：　　　　例3（06莆田市）已知矩形ABCD

7、和点P，当点P在边BC上任一位置（如图①所示）　　时，易证得结论：PA2＋PC2＝PB2＋PD2，请你探究：当P点分别在图②、图③中的位置时，PA2、PB2、PC2和PD2又有怎样的数量关系？请你写出对上述两种情况的探究结论，并利用图②证明你的结论．　　答：对图②的探究结论为__________．　　对图③的探究结论为_________．　　【解析】本题难度稍大，首先我们根据题意进行猜想，假设图②也具有PA2＋PC2＝PB2＋PD2的性质，然后我们证明之，在图②中，我们有：　　PA2=PM2+AM2，PB2=PN2

8、+BN2，PC2=PN2+NC2,PD2=MD2+PM2　　又因为AM=BN，MD=NC，　　所以仍有PA2＋PC2＝PB2＋PD2，可见我们的假设是成立的，同样，第2问也可用这样的方法进行解题，不妨试验一下。　　　　题型3　解题方法的开放与探索。　　策略开放性问题，一般指解题方法不惟一或解题途径不明确的问题，这类问题要求解题者不墨守成规，善于标新立异，积极