指数函数与对数函数的关系(反函数)

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1、指数函数与对数函数的关系问题1:指数函数y=ax与对数函数y=logax(a>0,a≠1)有什么关系?对应法则互逆y=axx=logayy=logax指数换对数交换x,y指数函数y=ax与对数函数x=logay(a>0,a≠1)有什么关系?函数自变量因变量定义域值域y=axxyR(0,+∞)x=logayyx(0,+∞)R称这两个函数互为反函数对应法则互逆指数函数y=ax是对数函数x=logay(a>0,a≠1)的反函数指数函数y=ax(a>0,a≠1)对数函数y=logax(a>0,a≠1)反函数观察在同一坐标系内函数y=log2x与函数y=2x的图像,分析它们之间

2、的关系.函数y=log2x的图像与函数y=2x的图像关于直线y=x对称(1,0)(0,1)Oxyy=log2xy=2xy=xP(a,b)Q(a,b)函数y=f(x)的图像和它的反函数的图像关于直线y=x对称1.当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量,而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量,我们称这两个函数互为反函数。2.对数函数y=logax与指数函数y=ax互为反函数,图象关于直线y=x对称。3.函数y=f(x)的反函数通常用y=f-1(x)表示。注意:y=f-1(x)读作:“f逆x”表示反函数,不是-1次幂(倒数)的意思例1写出下

3、列对数函数的反函数:(1)y=lgx;解(1)对数函数y=lgx,它的底数是它的反函数是指数函数10y=10x(2)对数函数它的底数是它的反函数是指数函数例2写出下列指数函数的反函数:(1)y=5x解(1)指数函数y=5x,它的底数是5它的反函数是对数函数y=log5x;(2)指数函数,它的底数是,它的反函数是对数函数练习1.说出下列各组函数之间的关系:(1)y=10x和y=lgx;(2)y=2x和y=log2x;(3)y=ex和y=lnx.互为反函数,定义域和值域互换,对应法则互逆练习2.写出下列对数函数的反函数:(1)y=log2.5x;(2)y=logπx;3.

4、写出下列指数函数的反函数:(1)y=4x;(2)y=1.4x;(1)y=2.5x(2)y=πx(1)y=log4x(2)y=log1.4x例3求函数y=3x-2(x∈R)反函数,并在同一直角坐标系中作出函数及其反函数的图象。解:由y=3x-2(x∈R)得所以y=2x-1(x∈R)的反函数是(x∈R)y=3x-2经过两点(0,-2),(2/3,0)经过两点(-2,0),(0,2/3)做一做0xyy=3x-2y=x想一想:函数y=3x-2的图象和它的反函数的图象之间有什么关系?求函数反函数的步骤:3求原函数的值域1反解2x与y互换4写出反函数及它的定义域b=f(a

5、)a=f-1(b)点(b,a)在反函数y=f-1(x)的图像上点(a,b)在函数y=f(x)的图像上(1,0)(0,1)Oxyy=log2xy=2xy=xP(b,a)Q(a,b)结论:[例4]函数f(x)=loga(x-1)(a>0且a≠1)的反函数的图象经过点(1,4),求a的值.解:依题意,得b=f(a)a=f-1(b)点(b,a)在反函数y=f-1(x)的图像上点(a,b)在函数y=f(x)的图像上b=f(a)a=f-1(b)点(b,a)在反函数y=f-1(x)的图像上点(a,b)在函数y=f(x)的图像上理论迁移例4已知函数.(1)求函数f(x)的定义域和值域

6、;(2)求证函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称.小结反函数的概念定义域和值域互换对应法则互逆图像关于直线y=x对称指数函数y=ax(a>0,a≠1)与对数函数y=logax(a>0,a≠1)互为反函数作业课本第106页练习A组B组对数函数y=logax(a>0,a≠1)指数函数y=ax(a>0,a≠1)(4)a>1时,a越大图像越靠近y轴01时,a越大图像越靠近x轴01时,在R上是增函数;01时,在(0,+∞)是增函数;0

7、∞)是减函数(3)过点(0,1),即x=0时,y=1(3)过点(1,0),即x=1时,y=0(2)值域:(0,+∞)(1)定义域:R(1)定义域:(0,+∞)(2)值域:Ry=ax(a>1)y=ax(01)y=logax(0

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