基于logistic和gompertz模型的组合沉降预测

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1、基于Logistic和Gompertz模型的组合沉降预测【】Logistic模型和Gompertz模型能较好地描述地基的全过程沉降，它们在拐点处的坐标、导数与它们的参数是能够相互唯一确定的。当利用拟事隐函数曲线的GNL法对这两种模型进行最小二乘拟合时,可根据这一性质对单个未线性化参数的初始值进行搜索。利用线性规划原理，以组合模型的对数误差平方和最小为目标函数来确定最优的加权系数,建立了最优加权几何平均组合沉降预测模型。通过工程实例,验证了该最优组合沉降预测模型的可行性。　　【关键词】Logistic模型；Gompertz模型；沉降；预测　　　　引言　　基于实测资

2、料的沉降预测在高速铁路客运专线建设中具有非常重要的意义，迄今为止，已经有许多预测沉降的方法，如双曲线法、三点法、指数函数法、Asaokao法、马尔柯夫预测法、灰色系统理论法等[1]，由于在预测之中，采用的模型不同，会出现各种偏差。　　组合预测方法是把不同的预测方法进行组合，以恰当的加权平均形式得到组合预测模型，从而达到综合利用各种方法所提供的信息，它集合多种单一模型所包含的信息，进行最大组合，通过组合预测可以达到改善预测结果的目的，提高组合预测质量的关键问题是权重的确定,在找到最优的权重计算方法，实现沉降模型的高精度预测。　　1Logistic和Gompertz

3、曲线模型　　1.1Logistic曲线模型　　Logistic曲线模型最初由被马尔萨斯提出，威赫尔斯特将其归纳并用数学公式表达。该模型又被称为Verhulst-Pearl模型，逻辑曲线模型、增长曲线模型、泊松曲线模型等，它在生态学、人口学等领域得到广泛应用【2-4】，其模型函数为：　　（1）　　式中a，β，γ为参数；t为时间序列，S为对应时间的预测值。它的一阶导数和二阶导数分别为：　　（2）　　（3）　　由式（2）和（3）可知拐点坐标为：（，），最大增长率：，三个参数分别为：，，。对参数进行变换可得：，，，其隐函数方程：。　　1.2Gompertz曲线模型　　G

4、ompertz曲线模型是由英国统计学家和数学家B.Gompertz【4】提出的，它是一种生长曲线，其模型函数表达式为：　　（4）　　式中a，β，γ为参数；t为时间序列，S为对应时间的预测值。它的一阶导数和二阶导数分别为：　　…………..5　　…….6　　由式（5）和（6）可知拐点坐标为：（，），最大增长率：，三个参数分别为：，，。对参数进行变换可得：，，，其隐函数方程：。　　1.3Logistic和Gompertz曲线模型的特性　　1.3.1不通过坐标原点　　Logistic和Gompertz曲线模型在图形上均呈现出“S”型分布，并且具有良好的适应性，在t＝0时

5、，Logistic曲线，Gompertz曲线也就是沉降-时间曲线不通过原点，文献[5]对不通过原点的机理进行了分析。　　1.3.2单调递增性　　式（2）和（5）为模型函数对时间的一阶导数，即为沉降速率，可以看出沉降速率恒大于零，沉降总是随着时间的增加而增加。这与全过程沉降的单调递增性相符，并反映了沉降随时间的变化特征，沉降速率先增加较快，后增加减慢，最后趋近于零。　　1.3.3有界性　　当时间t趋于无穷大时，对Logistic和Gompertz曲线模型最终都趋于一定值，即：　　（7）　　（8）　　1.3.4曲线呈“S”形　　式（3）和（6）为模型函数对时间t的二

6、阶导数，对于Logistic曲线模型，在拐点坐标之前，二阶导数，增长曲线呈下凸形，增长速度越来越快；在拐点坐标之后，二阶导数，增长曲线呈上凸形，增长速度越来越慢。对于Gompertz曲线模型，在拐点坐标之前，增长曲线呈下凸形，增长速度越来越快；而这之后的时间内，，增长曲线呈上凸形，增长速度越来越慢。Logistic和Gompertz曲线模型的增长率都大于零，且有唯一的拐点和一条水平渐进线，它们的性态与参数都有着类似的密切关系。在形式上，Gompertz曲线模型可以看做时对Logistic曲线模型对中间变量的线性展开。即略去余项的一级Maclaurin展开。当自变

7、量t趋近于无穷大时，曲线趋于一个限值，通常称此为饱和值，变形曲线在形状上呈现“S”形【6】。　　1.3.5满足固结度条件　　根据固结度定义【7】，对于Logistic和Gompertz曲线模型分别有：　　（9）　　（10）　　从以上两个式子可以看出，当t=0时，U=0；当时，U=1。　　基于以上分析，可以发现Logistic和Gompertz曲线模型与线性或非线性加载条件下地基沉降的变形特征较符合。　　2两种三参数模型的拟合　　在最小二乘意义之下以n个观测点（ti，Si）对三参数的Logistic和Gompertz曲线模型进行拟合，在使用拟合隐函数的Gauss-

8、Ne种沉降预测模型，，，