高考数学难点突破 难点38 分类讨论思想

高考数学难点突破 难点38 分类讨论思想

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1、难点38分类讨论思想分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异,分各种不同的情况予以分析解决.分类讨论题覆盖知识点较多,利于考查学生的知识面、分类思想和技巧;同时方式多样,具有较高的逻辑性及很强的综合性,树立分类讨论思想,应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体,明确分类的标准,分层别类不重复、不遗漏的分析讨论.”●难点磁场1.(★★★★★)若函数在其定义域内有极值点,则a的取值为.2.(★★★★★)设函数f(x)=x2+|x–a|+1,x∈R.(1)判断函数f(x)的奇偶性;(2)求函数f(x)的最小值.●案例探究[例1]已知{an}是首项为2,公比为

2、的等比数列,Sn为它的前n项和.(1)用Sn表示Sn+1;(2)是否存在自然数c和k,使得成立.命题意图:本题主要考查等比数列、不等式知识以及探索和论证存在性问题的能力,属★★★★★级题目.知识依托:解决本题依据不等式的分析法转化,放缩、解简单的分式不等式;数列的基本性质.错解分析:第2问中不等式的等价转化为学生的易错点,不能确定出.技巧与方法:本题属于探索性题型,是高考试题的热点题型.在探讨第2问的解法时,采取优化结论的策略,并灵活运用分类讨论的思想:即对双参数k,c轮流分类讨论,从而获得答案.解:(1)由Sn=4(1–),得,(n∈N*)(2)要使,只要因为所以,(k∈N

3、*)故只要Sk–2<c<Sk,(k∈N*)因为Sk+1>Sk,(k∈N*)①所以Sk–2≥S1–2=1.又Sk<4,故要使①成立,c只能取2或3.当c=2时,因为S1=2,所以当k=1时,c<Sk不成立,从而①不成立.当k≥2时,因为,由Sk<Sk+1(k∈N*)得Sk–2<Sk+1–2故当k≥2时,Sk–2>c,从而①不成立.当c=3时,因为S1=2,S2=3,所以当k=1,k=2时,c<Sk不成立,从而①不成立因为,又Sk–2<Sk+1–2所以当k≥3时,Sk–2>c,从而①成立.综上所述,不存在自然数c,k,使成立.[例2]给出定点A(a,0)(a>0)和直线l:x=

4、–1,B是直线l上的动点,∠BOA的角平分线交AB于点C.求点C的轨迹方程,并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系.命题意图:本题考查动点的轨迹,直线与圆锥曲线的基本知识,分类讨论的思想方法.综合性较强,解法较多,考查推理能力和综合运用解析几何知识解题的能力.属★★★★★级题目.知识依托:求动点轨迹的基本方法步骤.椭圆、双曲线、抛物线标准方程的基本特点.错解分析:本题易错点为考生不能巧妙借助题意条件,构建动点坐标应满足的关系式和分类讨论轨迹方程表示曲线类型.技巧与方法:精心思考,发散思维、多途径、多角度的由题设条件出发,探寻动点应满足的关系式.巧妙地利用角平分线的性质.解法一:

5、依题意,记B(–1,b),(b∈R),则直线OA和OB的方程分别为y=0和y=–bx.设点C(x,y),则有0≤x<a,由OC平分∠AOB,知点C到OA、OB距离相等.根据点到直线的距离公式得|y|=①依题设,点C在直线AB上,故有由x–a≠0,得②将②式代入①式,得y2[(1–a)x2–2ax+(1+a)y2]=0若y≠0,则(1–a)x2–2ax+(1+a)y2=0(0<x<a)若y=0则b=0,∠AOB=π,点C的坐标为(0,0)满足上式.综上,得点C的轨迹方程为(1–a)x2–2ax+(1+a)y2=0(0<x<a(i)当a=1时,轨迹方程化为y2=x(0≤x<1③此

6、时方程③表示抛物线弧段;(ii)当a≠1,轨迹方程化为④所以当0<a<1时,方程④表示椭圆弧段;当a>1时,方程④表示双曲线一支的弧段.解法二:如图,设D是l与x轴的交点,过点C作CE⊥x轴,E是垂足.(i)当|BD|≠0时,设点C(x,y),则0<x<a,y≠0由CE∥BD,得.∵∠COA=∠COB=∠COD–∠BOD=π–∠COA–∠BOD∴2∠COA=π–∠BOD∴∵∴整理,得(1–a)x2–2ax+(1+a)y2=0(0<x<a)(ii)当|BD|=0时,∠BOA=π,则点C的坐标为(0,0),满足上式.综合(i)、(ii),得点C的轨迹方程为(1–a)x2–2ax+

7、(1+a)y2=0(0≤x<a)以下同解法一.解法三:设C(x,y)、B(–1,b),则BO的方程为y=–bx,直线AB的方程为∵当b≠0时,OC平分∠AOB,设∠AOC=θ,∴直线OC的斜率为k=tanθ,OC的方程为y=kx于是又tan2θ=–b∴–b=①∵C点在AB上∴②由①、②消去b,得③又,代入③,有整理,得(a–1)x2–(1+a)y2+2ax=0④当b=0时,即B点在x轴上时,C(0,0)满足上式:a≠1时,④式变为当0<a<1时,④表示椭圆弧段;当a>1时,④表示双曲线一支的弧段;当a=

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