概率论与数理统计 许承德 习题五答案

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1、习题五1．假设有10只同种电器元件，其中两只废品，从这批元件中任取一只，如果是废品，则扔掉重新取一只，如仍是废品，则扔掉再取一只，试求在取到正品之前，已取出的废品只数的数学期望和方差。解设为已取出的废品只数，则的分布为即所以，2．假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若1周5个工作日里无故障，可获利10万元；发生一次故障仍可获利5万元，发生两次故障所获利润零元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元。求1周内期望利润是多少？解设一周所获利润为（万元），则的可能值为.又设为机器一周内发生故障的次数

2、，则，于是，类似地可求出的分布为所以一周内的期望利润为（万元）3．假设自动线加工的某种零件的内径（毫米）服从正态分布，内径小于10或大于12为不合格品，销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损，已知销售利润（元）与零件的内径有如下关系：·79·问平均内径取何值时，销售一个零件的平均利润最大.解即两边取对数得即.时，平均利润最大.4．从学校到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是，设为途中遇到红灯的次数，求随机变量的分布律、分布函数和数学期望.解，分布律为即的分布函数为·79·5．设随

3、机变量服从几何分布，其分布列为，求与解1其中由函数的幂级数展开有，所以因为，所以解2设（1）则（2）（1）–（2）得·79·，所以，从而，得.，，，于是，所以，故得的方差为6．设随机变量分别具有下列概率密度，求其数学期望和方差.（1）；（2）（3）（4）·79·解（1），（因为被积函数为奇函数）（2）.（3）,，所以.（4）,,所以.7．在习题三第4题中求解因的分布为所以.8．设随机变量的概率密度为·79·已知，求（1）的值（2）随机变量的数学期望和方差.解（1），，解方程组得，，.（2），.9．游客乘电梯从底层到电视塔顶层观

4、光；电梯于每个整点的第5分钟，25分钟和55分钟从底层起行。假设一游客在早八点的第分钟到达底层候梯处，且在上均匀分布，求该游客等候时间的数学期望.解设候梯时间为，则·79·.10．设某种商品每周的需求量是服从区间上均匀分布的随机变量，而经销商店进货量为区间中的某一个整数，商店每销售一单位商品可获利500元；若供大于求则削价处理，每处理一单位商品亏损100元；若供不应求，则从外部调剂供应，此时每一单位商品仅获利300元，为使商店所获利润期望值不少于9280元，试确定最小进货量。解设商店获得的利润为，进货量为，则由题意即.解不等式

5、得，即使利润的期望值不少于9280元的最少进货量为21个单位.11．设与同分布，且的概率密度为（1）已知事件和事件独立，且，求常数；（2）求。·79·解（1），即有方程即，可见或，解之得或（不合题意）故.（2）.12．于习题四第15题中求的数学期望.解的分布为（1）求（2）设，求（3）设，求13．设的分布律为YX–1011230.20.100.100.30.10.10.10.40.20.40.30.40.3解（1）；（2）；（3）·79·.或或，先求的分布.14．设离散型二维随机变量在点取值的概率均为，求解，，所以；；15．设

6、的概率密度为求的数学期望.解·79·16．设二维随机变量的概率密度为y0x求.解；；；，于是；故17．假设随机变量服从参数为的指数分布，随机变量求（1）的联合分布，（2）.解（1）的分布：X2X1，，（2）.18．设连续型随机变量的所有可能值在区间之内，证明：·79·（1）；（2）证（1）因为，所以，即；（2）因为对于任意的常数有，取，则有19．一商店经销某种商品，每周进货量与顾客对该种商品的需求量是相互独立的随机变量，且都服从区间上的均匀分布。商店每售出一单位商品可得利润1000元；若需求量超过了进货量，商店可从其他商店调剂

7、供应，这时每单位商品获利润500元，试计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值。D2D1y201020100x解设为一周内所得利润，则其中所以（元）.20．设是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为·79·求解，（注：因为参数为1的指数分布的数学期望为1，而是前指数分布向右平移了5个单位，所以）因独立，所以.今求方法1.方法2利用公式：当独立时21．在长为的线段上任取两点，求两点距离的期望和方差.解以线段的左端点为原点建立坐标系，任取两点的坐标分别为，则它们均在上服从均匀分布，且相互独立.所以.22．设随机变量与独立，且服

8、从均值为1，标准差（均方差）为的正态分布，而服从标准正态分布，试求随机变量的概率密度.解因为相互独立的正态分布的线性组合仍为正态分布，所以其中·79·所以的概率密度为，23．设是两个相互独立的且均服从正态分布的随机变量，求与.解1；；所以·79·.注意：从上面的解题过程看，计