从几个生活实例看数学建模与应用

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1、从几个生活实例看数学建模及其应用[内容摘要]本文通过几个生活中的事例，并运用数学建模，来分析问题，以便更方便的得出解决问题的方案。从中通过将数学建模的抽象理论实例化，生动化，我们能够更清楚看出数学在生活中无处不在，无处不用。[关键词]数学建模生活数学数学，作为一门研究现实世界数量关系和空间形式的科学，与生活是息息相关的。作为用数学方法解决实际问题的第一步，数学建模自然有着与数学相当的意义。在各种不同的领域中，人们一直在运用数学建模来描绘，刻画某种生活规律或者生活现象，以便找到其中解决问题的最佳方案或得到最佳结论。例如，运用模拟近似法建模的

2、方法，在社会科学，生物学，医学，经济些学等学科的实践中，来建立微分方程模型。在这些领域中的一些现象的规律性仍是未知的，或者问题太过复杂，所以在实际应用中总要通过一些简化，近似的模型来与实际情况比对，从而更加容易的得出规律性。本文通过数学模型在生活中运用的几个例子，来了解，探讨数学模型的相关知识。一、数学模型的简介早在学习初等代数的时候，就已经碰到过数学模型了，例如在三个村庄之间建立一个粮仓，使其到三个村子的距离只和最短。我们可以通过建立方程组以及线性规划来解决该问题。当然，真实实际问题的数学建模通常要复杂得多，但是建立数学建模的基本内容已

3、经包含在解决这类代数应用题的过程中了。那就是：根据建立模型的目的和问题的背景作出必要的简化假设；用字母表示待求的未知量；利用相应的物理或其他规律，列出数学式子；求出数学上的解答；用这个答案解释问题；最后用实际现象来验证结果。一般来说，数学模型可以描述为，对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，作出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。二、数学模型的意义1）在一般工程技术领域，数学建模仍然大有用武之地。2）在高新技术领域，数学建模几乎是必不可少的工具。3）数学迅速进入一些新领域，为数学建模开拓

4、了许多新的处女地。三、数学建模实例例1、某饲养场每天投入6元资金用于饲养、设备、人力，估计可使一头60kg重的生猪每天增重2.5kg。目前生猪出售的市场价格为12元/kg，但是预测每天会降低0.1元，问该场应该什么时候出售这样的生猪？问题分析投入资金可使生猪体重随时间增长，但售价随时间减少，应该存在一个最佳的出售时机，使获得利润最大。根据给出的条件，可作出如下的简化假设。模型假设每天投入6元资金使生猪的体重每天增加的常数为r（=2.5kg）;生猪出售的市场价格每天降低常数g（=0.1元）。模型建立给出以下记号：t~时间（天）；w~生猪体重

5、;P~单价（元/kg）;R~出售的收入（元）；Q~纯利润（元）；C~t天投入的资金（元）。按照假设,又知道再考虑到纯利润应扣掉以当前价格（12元/kg）出售60kg生猪的收入，有得到目标函数（纯利润）为(1)其中r=2.5,g=0.1.求使最大。模型求解这是求二次函数最大值问题，用代数或微分法容易得到（2）当r=2.5,g=0.1时，t=40,，即10天后出售，可得最大纯利润324元。例2、（渔船出海问题）讨论渔业资源的最大经济效益模型，这里用出海渔船的数量作为控制函数。实际上，捕鱼业的具体做法是等渔场中鱼量增长到相当大以后，才派出一定数

6、量的渔船进行捕捞。模型假设1、渔场鱼量的自然增长服从logistic规律，单位时间捕捞量与渔船数量和渔场鱼量成正比，在捕捞条件下满足r,N同前，是每只渔船单位时间（如每天）的捕捞率（相对于而言）。视为连续变量，非整数部分理解为在时间内进行捕捞。2、初始时刻渔场鱼量很小。在时间内不派鱼船出海。以后出海渔船的数量保持常数,即的形式为而，为待定参数，捕捞期间渔场鱼量保持稳定。3、鱼的出售单价为，每只渔船单位时间（天）的运费为c,通货膨胀率或称折扣率因子为。建模与求解在假设1和3下，单位时间的利润（折合到初始时刻）为，模型的目标函数是以为控制函数

7、的长期效益，即归纳为如下的泛函极值问题：（6）（7）因为假设2给出了控制函数的形式（5），所以（6），（7）可转化为函数极值问题。当时容易由方程（7）在初始条件（4）下解出；当时要保持在某一变量不变（假设2），这个常量可由（7）式令得到。于是有（8）由在时的连续性可以写出由此可解得（9）即中的两个参数中只有一个是独立的，以下取U为独立变量，由（9）式确定。将（5）（8）代入（6）式，目标泛函变为U的函数，记作F（U），则（10）注意到的含义，可知无量量纲b是费用—价格比下界（因为渔场鱼量取最大值N）,显然应该有否则成本高于售价，渔船不会出

8、海并且由（10）式可是，效益为正值的条件是或记作（11）用微分法求出在条件（11）下的最大值点为（12）将（12）的结果代入（9）式即得（13）为渔船出海的最佳数量与时刻。例3，景区门票定价模