充分条件与必要条

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1、例1已知p:x1,x2是方程x2+5x-6=0的两根,q:x1+x2=-5,则p是q的[]A.充分但不必要条件  B.必要但不充分条件C.充要条件   D.既不充分也不必要条件分析利用韦达定理转换.解∵x1,x2是方程x2+5x-6=0的两根,∴x1,x2的值分别为1,-6,∴x1+x2=1-6=-5.因此选A.说明:判断命题为假命题可以通过举反例.例2p是q的充要条件的是[]A.p:3x+2>5,q:-2x-3>-5B.p:a>2,b<2,q:a>bC.p:四边形的两条对角线互相垂直平分,q:四边形是正方形D.p:a≠0,q:关于x的方程ax=1有惟一

2、解分析逐个验证命题是否等价.解对A.p:x>1,q:x<1,所以,p是q的既不充分也不必要条件;对B.pq但qp,p是q的充分非必要条件;对C.pq且qp,p是q的必要非充分条件;说明:当a=0时,ax=0有无数个解.例3若A是B成立的充分条件,D是C成立的必要条件,C是B成立的充要条件,则D是A成立的[]A.充分条件   B.必要条件C.充要条件   D.既不充分也不必要条件分析通过B、C作为桥梁联系A、D.解∵A是B的充分条件,∴AB①∵D是C成立的必要条件,∴CD②由①③得AC④由②④得AD.∴D是A成立的必要条件.选B.说明:要注意利用推出符号的

3、传递性.例4设命题甲为:0<x<5,命题乙为

4、x-2

5、<3,那么甲是乙的[]A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件   D.既不充分也不必要条件分析先解不等式再判定.解解不等式

6、x-2

7、<3得-1<x<5.∵0<x<5-1<x<5,但-1<x<50<x<5∴甲是乙的充分不必要条件,选A.说明:一般情况下,如果条件甲为x∈A,条件乙为x∈B.当且仅当A=B时,甲为乙的充要条件.例5设A、B、C三个集合,为使A(B∪C),条件AB是[]A.充分条件   B.必要条件C.充要条件   D.既不充分也不必要条件分析可以结合图形分析.请同学们自己画图.∴

8、A(B∪C).但是,当B=N,C=R,A=Z时,显然A(B∪C),但AB不成立,综上所述:“AB”“A(B∪C)”,而“A(B∪C)”“AB”.即“AB”是“A(B∪C)”的充分条件(不必要).选A.说明:画图分析时要画一般形式的图,特殊形式的图会掩盖真实情况.例6给出下列各组条件:(1)p:ab=0,q:a2+b2=0;(2)p:xy≥0,q:

9、x

10、+

11、y

12、=

13、x+y

14、;(3)p:m>0,q:方程x2-x-m=0有实根;(4)p:

15、x-1

16、>2,q:x<-1.其中p是q的充要条件的有[]A.1组B.2组C.3组D.4组分析使用方程理论和不等式性质.解(

17、1)p是q的必要条件(2)p是q充要条件(3)p是q的充分条件(4)p是q的必要条件.选A.说明:ab=0指其中至少有一个为零,而a2+b2=0指两个都为零.分析将前后两个不等式组分别作等价变形,观察两者之间的关系.例8已知真命题“a≥bc>d”和“a<be≤f”,则“c≤d”是“e≤f”的________条件.分析∵a≥bc>d(原命题),∴c≤da<b(逆否命题).而a<be≤f,∴c≤de≤f即c≤d是e≤f的充分条件.答填写“充分”.说明:充分利用原命题与其逆否命题的等价性是常见的思想方法.例9ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件是[]

18、A.0<a≤1 B.a<1C.a≤1D.0<a≤1或a<0分析此题若采用普通方法推导较为复杂,可通过选项提供的信息,用排除法解之.当a=1时,方程有负根x=-1,当a=0时,x=当a≠0时综上所述a≤1.即ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件是a≤1.说明:特殊值法、排除法都是解选择题的好方法.例10已知p、q都是r的必要条件,s是r的充分条件,q是s的充分条件,那么s,r,p分别是q的什么条件?分析画出关系图1-21,观察求解.解s是q的充要条件;(srq,qs)r是q的充要条件;(rq,qsr)p是q的必要条件;(qsrp)说明:图可以画的

19、随意一些,关键要体现各个条件、命题之间的逻辑关系.例11关于x的不等式分析化简A和B,结合数轴,构造不等式(组),求出a.解A={x

20、2a≤x≤a2+1},B={x

21、(x-2)[x-(3a+1)]≤0}B={x

22、2≤x≤3a+1}.B={x

23、3a+1≤x≤2}说明:集合的包含关系、命题的真假往往与解不等式密切相关.在解题时要理清思路,表达准确,推理无误.要条件?分析将充要条件和不等式同解变形相联系.说明:分类讨论要做到不重不漏.例13设α,β是方程x2-ax+b=0的两个实根,试分析a>2且b>1是两根α,β均大于1的什么条件?分析把充要条件和方程中根与

24、系数的关系问题相联系,解题时需∴qp.上述讨论可知:a>2,b>1是α>1,β>

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