高中数学研究性学习报告-田启航

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1、数学综合研究性学习报告数学中的黄金分割班级：高三（5）班组长：田启航课题研究组其他成员：（为保护隐私已略去）指导老师：（为保护隐私已略去）1高中数学研究性学习课题开题报告主课题：数学中的黄金分割子课题名称：数学中的黄金分割主导课程：数学中的黄金分割相关课程：无课题组成员：田启航、（为保护隐私已略去）组长：田启航班级：高三（5）班指导教师：（为保护隐私已略去）简要背景说明（课题是如何提出来的）：黄金分割是世界上最优美的比例之一，是将一条线段分成不相等的两段，使较小线段与较大线段的比等于较大线段与整个线段的比。我们被黄金分割的美深深吸引，决定从数学的角度研究它。课题的目

2、的与意义：能够增强我们的数学能力，丰富我们的知识，激励我们成长。活动计划1）任务分工：整理材料：（为保护隐私已略去）编写文章：田启航思考总结：田启航2）活动步骤：分3阶段实施阶段时间（周）主要任务阶段目标整理资料1查找有关资料并筛选整理好资料编写文章2编写黄金分割的文章编写好文章思考总结3总结并思考本次研究思考好研究3）计划访问的专家：校内1位，如　（为保护隐私已略去）　　　　　，　　　　　等校外0位，如：　　　　　，　　　　　，　　　　　等4）活动所需的条件：图书资料如______《数学课本》、《中国大百科全书·数学》________________实验室（设备）

3、如________无__________交通工具如____________无_________________其他（如计算机上网等）_______计算机上网_____________预期成果：完成2种以上的黄金分割的分析展现形式：研究报告10第一部分：数学中的黄金分割黄金分割概述黄金分割是一种数学上的比例关系。黄金分割具有严格的比例性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值。应用时一般取1.618，这个数值在建筑、管理、工农业生产、科学实验、经济等各个方面有着不可忽视的作用。《中国大百科全书·数学》单独列出黄金分割（goldensection）词条：“分已知线段为两部分，使其

4、中一部分是全线段与另一部分的比例中项。这就是黄金分割问题。”黄金分割数是一个无理数，通常用Φ表示，它的前20位为1.6180339887498948482。与黄金分割相关的一个例子就是斐波那契数列：l，l，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，···。有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式却是用无理数来表达的。而且当n趋向于无穷大时，后一项与前一项的比值的小数部分越来越逼近黄金分割比0.618。斐波那契数列具有以下一些特点：（1）数列中任一数字都是由前两个数字之和构成。（2）数列中前一数字与后一数字之比例，趋近于一固定常数，即0.618；后一

5、数字与前一数字之比例，趋近于1.618。（3）1.618与0.618互为倒数，其乘积则约等于l。除能反映黄金分割的两个基本比值0.618和1.618以外，还有0.236、0.382、1.236、1.382、2.618、4.236等。0.236是0.618的三次幂；0.382是斐波那契序列中的项与其后第二项的比值的极限值，也是0.618的二次幂，同时也是101与0.618的差；1.236是0.618的两倍；2.618是斐波那契序列中的项与其前第二项的比值的极限值，也是1.618的二次幂，同时也是1与1.618的和；4.236是1.618和2.618的积，也是0.236

6、的倒数。斐波那契数列的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契，他被人称作“比萨的列昂纳多”。1202年，他撰写了《珠算原理》一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。黄金分割理论的产生和发展黄金分割的起源要追溯到公元前六世纪的古希腊数学家毕达哥拉斯。相传毕达哥拉斯有一次从一家铁匠铺路过时，发现铺子中发出的叮叮当当的打铁声似乎隐匿着什么秘密，于是他走进铺子，测量了一下铁锤和铁砧的尺寸，惊奇地发现它们之间存在着一种很和谐的关系。回到家后，毕达哥拉斯拿出一根线，想将它分成两段，在铁锤和铁砧尺寸比例的启发下，他最后确定把一根线按1:0.618的比例截断最优美。而

7、且，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，因此现代数学家们推断当时毕达哥拉斯学派已经触及甚至掌握了黄金分割。公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了黄金分割问题，并建立起比例理论，根据欧德莫斯在《几何学史》中的记载，他在研究这一问题时应用了分析法。黄金分割的系统论述，最早见于欧几里得《几何原本》。中世纪后，黄金分割10被披上神秘的外衣，意大利数学家帕乔利称中末比为神圣比例，并专门为此著书立说。德国天文学家开普勒称黄金分割为神圣分割。到19世纪，黄金分割这一名称才逐渐通行。黄金分割数有许多有趣的性质，人类对它的实际应用也很广泛。最著名的