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2、第二章矩阵要求：1）理解矩阵的概念。掌握一些特殊矩阵及其性质，如零矩阵、单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵等；2）掌握矩阵的基本运算及其运算规则，如线性运算、乘法运算、矩阵行列式运算等；3）理解逆矩阵概念，掌握逆矩阵性质及矩阵可逆的充分必要条件，了解伴随矩阵概念；4）掌握矩阵的初等变换，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，掌握用初等变换求逆矩阵的方法。5）掌握矩阵的分块运算。2.1矩阵知识点：矩阵的定义，一些特殊矩阵定义1（矩阵）由个实数排成的一个m行n列的矩形数表，称之为矩阵，位置（,）上的元素，一般用表示（强调两个足标的意义）。
3、矩阵可简记为或或.例1含有n个未知数、m个方程的线性方程组把和按原顺序可以组成一个矩阵：。任何一个方程组都可以用这样一个矩阵来描述；反之，一个矩阵也完全刻划了一个方程组。
4、如已知某方程组对应于下列矩阵。写出该方程组，方矩阵若，称A为阶（方）矩阵，也可记作.（强调矩阵的（主）对角线，）而称之为对角元素；（反主对角线）。当时，即，此时矩阵退化为一个数.同型矩阵具有相同行数和相同列数的矩阵，称之为同型矩阵。矩阵相等若同型矩阵和在对应位置上的元素都相等，即零矩阵所有元素都为零的矩阵，称之为零矩阵。一般记作O；或.注意，不同型的零矩阵是不相等的。三
5、角矩阵设是阶矩阵。1）若的元素满足，称是上三角矩阵；2）若的元素满足称是下三角矩阵；和。对角矩阵若元素满足；其形状是，记作.
6、数量矩阵：对角元素为常数的对角矩阵，记作K，即K=单位矩阵对角元素为1的对角矩阵，记作或（阶），即。零矩阵和单位矩阵在矩阵运算中所起的作用类似于0和1在数的运算中所起的作用。2.2矩阵的基本运算知识点：矩阵的加（减）法、数乘、乘法、转置和矩阵的行列式；伴随矩阵。一、加（减）法定义2（矩阵加法）设和是的矩阵，A与B的加法（或称和），记作A+B，定义为一个的矩阵.例2设,,，计算；若已知，求出.负矩阵设，称矩阵为矩阵A
7、的负矩阵。矩阵的减法:
8、由定义，容易验证矩阵的加法满足下列运算法则（其中为同型矩阵）。（1）交换律（2）结合律（3）（4）一、数乘定义3（矩阵数乘）数与矩阵的乘积（称之为数乘），记作或，定义为一个的矩阵。由定义，数乘运算满足下列运算法则（设是同型矩阵，是数）：（1）数对矩阵的分配律（2）矩阵对数的分配律（3）结合律（4）例3设，且求矩阵.
9、一、乘法定义4（矩阵乘法）设是一个矩阵，是一个矩阵，A与B的乘法，记作AB，定义为一个的矩阵，其中.由定义，不难看出（强调）：（1）只有在左矩阵A的列数和右矩阵B的行数相等时，才能定义乘法AB；（2）矩
10、阵C=AB的行数是A的行数，列数则是B的列数；（3）矩阵C=AB在位置上的元素等于A的第行元素与B的第列对应元素的乘积之和。例4设矩阵，.求和.例5任何一个矩阵A与单位矩阵I的乘积仍然等于该矩阵A（假如乘积有意义），即AI=IA=A。如例6设是的矩阵（行向量），是的矩阵（列向量），即，，
11、求和.例如，，则，而。.例7设矩阵,求和.解;.上述几个例子显示，当有意义时，不一定有意义（例4）；即使和都有意义（例6），且有相同的矩阵阶数（例7），和也不一定相等。因此矩阵乘法不满足交换律(对一般情况而言)。若两个矩阵和满足则称矩阵和是可交换的，如1
12、）单位矩阵与任何（同阶）矩阵可交换，即成立。2）任何两个对角矩阵也都是可交换的。（作为习题）3）一个矩阵与任何（同阶）矩阵可交换的当且仅当该矩阵为数量矩阵。（作为习题）例7还显示，当时，不能推出或。进一步，当，且时，推不出。这表明矩阵乘法也不满足消去律。但矩阵乘法仍满足分配律和结合律：（1）分配律；。（2）结合律。（3）数乘结合律,其中是一个数。
13、（1）。证明矩阵相等的方法：(I)左右矩阵为同型；(II)左右矩阵在对应位置上的元素相等。（2）的证明设是矩阵，是矩阵，是矩阵，则是矩阵，且；而是矩阵，且，从而和都是矩阵。再记，。只需证故即可。
14、■例8设矩阵、是上（下）三角矩阵，则亦是上（下）三角矩阵；且的对角元素等于、对角元素的乘积。特别，对角矩阵的积仍是对角矩阵。证明：记，则，只要证明，并。如，，矩阵的幂设是阶矩阵，定义：,其中，是正整数；特别规定.由于乘法成立分配律结合律，有，，但由于不成立交换律，故一般。例9设矩阵,
15、求和。（把A推广到一般n阶矩阵）一、转置运算定义5(转置矩阵)设，将的行和列对应互换得到的矩阵，定义为A的转置矩阵，记作，。由定义可知，，即在位置上的元素是矩阵A在位置上的元素。例10设矩阵,求，和。上述例子成立，而并不成立。这是转置运算的性质。矩阵的转置满
16、足下列运算法则：（1）；（2）；（3）是数；（4）定义6(对称矩阵)设是阶矩阵。若其元素满足：，若其元素满足：，
17、则称是反对称矩阵。此时成立。例如是一个对称矩阵，而是一个反对称矩阵。显然，对角
