数模(差分方程模型)

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1、第七章差分方程模型重庆邮电大学数理学院第一节差分方程基本的基本概念与性质第二节市场经济中的蛛网模型第三节简单的鹿群增长模型第四节减肥计划——节食与运动第五节差分形式的阻滞增长模型第六节按年龄分组的种群增长第七章差分方程模型第一节差分方程的概念及性质一.差分的定义与运算法则1.差分的定义解解2.差分的四则运算法则可参照导数的四则运算法则学习二差分方程的基本概念1.差分方程与差分方程的阶定义1定义2：注：由差分的定义及性质可知，差分方程的不同定义形式之间可以相互转换。2.差分方程的解含有相互独立的任意常数的个数与差分方程的阶数相同的差

2、分方程的解.差分方程的通解为了反映某一事物在变化过程中的客观规律性，往往根据事物在初始时刻所处状态，对差分方程所附加的条件.通解中任意常数被初始条件确定后的解.初始条件差分方程的特解引例1：Fibonacci数列问题13世纪意大利著名数学家Fibonacci在他的著作《算盘书》中记载着这样一个有趣的问题：一对刚出生的幼兔经过一个月可长成成兔，成兔再经过一个月后可以繁殖出一对幼兔.若不计兔子的死亡数，问一年之后共有多少对兔子？月份01234567…幼兔10112358…成兔011235813…总数1123581321…将兔群总数记为

3、fn,n=0,1,2,…，经过观察可以发现，数列{fn}满足下列递推关系：f0=f1=1,fn+2=fn+1+fn,n=0,1,2,…这个数列称为Fibonacci数列.Fibonacci数列是一个十分有趣的数列，在自然科学和数学领域中都有着广泛的应用.Fibonacci数列的一些实例.1.蜜蜂的家谱2.钢琴音阶的排列3.树的分枝4.杨辉三角形引例2：日常的经济问题中的差分方程模型1）.银行存款与利率假如你在银行开设了一个1000元的存款账户，银行的年利率为7%.用an表示n年后你账户上的存款额，那么下面的数列就是你每年的存款额：

4、a0,a1,a2,a3,…,an,…设r为年利率，由于an+1=an+ran,因此存款问题的数学模型是：a0=1000,an+1=(1+r)an,n=1,2,3,…2）.家庭教育基金从1994年开始，我国逐步实行了大学收费制度.为了保障子女将来的教育费用，小张夫妇从他们的儿子出生时开始，每年向银行存入x元作为家庭教育基金.若银行的年利率为r，试写出第n年后教育基金总额的表达式.预计当子女18岁入大学时所需的费用为100000元，按年利率3%计算，小张夫妇每年应向银行存入多少元?设n年后教育基金总额为an，每年向银行存入x元，依据复

5、利率计算公式，得到家庭教育基金的数学模型为：a0=x,an+1=(1+r)an+x,n=0,1,2,3,…3）.抵押贷款小李夫妇要购买二居室住房一套，共需30万元.他们已经筹集10万元，另外20万元申请抵押贷款.若贷款月利率为0.6%，还贷期限为20年，问小李夫妇每月要还多少钱？设贷款额为a0，每月还贷额为x，月利率为r，第n个月后的欠款额为an，则a0=200000,a1=(1+r)a0-x,a2=(1+r)a1-x,……an=(1+r)an-1-x,n=1,2,3,…例3证明三.线性差分方程解的结构n阶齐次线性差分方程的标准形

6、式n阶非齐次线性差分方程的标准形式1.n阶齐次线性差分方程解的结构问题:（是任意常数）那么称这些函数在区间内线性相关；否则称线性无关.2.n阶常系数非齐次线性差分方程解的结构由此可见，要求出n阶常系数非齐次线性差分方程（2）的通解，只需求出（1）的通解和（2）的一个特解即可.一阶常系数齐次线性差分方程的一般形式一阶常系数非齐次线性差分方程的一般形式四一阶常系数线性差分方程的解法解特征方程特征根解解二、一阶常系数非齐次线性差分方程的求解1.(1)(2)综上讨论解对应齐次方程通解特征方程特征根代入方程,得原方程通解为解对应齐次方程通解

7、代入方程,得解2.日常的经济问题中的差分方程模型1.银行存款与利率假如你在银行开设了一个1000元的存款账户，银行的年利率为7%.用an表示n年后你账户上的存款额，那么下面的数列就是你每年的存款额：a0,a1,a2,a3,…,an,…设r为年利率，由于an+1=an+ran,因此存款问题的数学模型是：a0=1000,an+1=(1+r)an,n=1,2,3,…2.家庭教育基金从1994年开始，我国逐步实行了大学收费制度.为了保障子女将来的教育费用，小张夫妇从他们的儿子出生时开始，每年向银行存入x元作为家庭教育基金.若银行的年利率为

8、r，试写出第n年后教育基金总额的表达式.预计当子女18岁入大学时所需的费用为100000元，按年利率3%计算，小张夫妇每年应向银行存入多少元?设n年后教育基金总额为an，每年向银行存入x元，依据复利率计算公式，得到家庭教育基金的数学模型为：a0=x