初2104 根式方程(组)的解法.doc

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1、第2104讲根式方程（组）的解法一、知识和方法要点l如果方程（组）含有根式，且根号内含有未知数，则称这样的方程（组）为根式方程（组）或称这样的方程（组）为无理方程（组）。根式方程（组）有着广泛的实际应用，例如，在用代数法解直角（斜）三角形时，所列出的方程（组）就可能是根式方程（组）。解根式方程（组）的基本思想是通过去根号将其转化为整式方程来解。l化根式方程（组）为整式方程的基本方法1）平方法：采用将方程的两边平方的手段，去掉根号；2）配方法：采用配方的手段，或利用非负数性质或将配方的底数整体解出去；3）共轭根式法：利用共轭根式的性质，去掉根号；4）换元法：用新变元整体代替根式，去

2、掉根号；5）不等式排除法：利用不等式排除不是方程的解的实数，从而确定方程的解。l在解根式方程（组）时，由于要去掉根号，将方程的两边平方，这样，使解出的解是另一个方程的解（方程的解可能是方程的解，也可能是方程的解），故有可能产生不适合原方程的根，这样的根称为根式方程（组）的增根。l在解根式方程（组）时的注意事项1）在将根式方程（组）转化为整式方程时，为减少不必要的计算，应根据原根式方程（组）的特点，采用相应的化简方法和技巧；2）解根式方程（组）时，验根是必不可少的步骤；3）解含字母系数的根式方程（组）时，应对字母系数进行讨论。二、典型题例选讲例1设a，b是有理数，且满足等式，则的值

3、是（）。A.2B.4C.6D.8（2006年全国初中数学联赛第一试试题；根式方程；有理数和无理数性质）【分析】题中的条件a，b是有理数建议我们利用有理数和无理数的性质解题。首先应将右边的复合二次根式进行化简。【解答】选B。因为，由实数性质得。所以，。【评注】利用有理数和无理数的性质解题。例2解方程：。（解根式方程；平方法）【分析】这是一个关于x的根式方程。通常的方法是：通过将方程的两边平方的手段，去掉根号，把方程变成整式方程来解。【解答】移项，两边平方得，整理得，再两边平方得，即，解之得。经检验是增根，是原方程的根。所以，原方程的解为。【评注】解分式方程（组）时，验根是必不可少的

4、步骤。例1设实数x，y，z满足，求x，y，z的值。（解根式方程；配方法）【分析】将条件式看成根式方程，由于要从一个方程解出三个未知数x，y，z，故可考虑采用配方法进行解题。【解答】移项，配方得，故，解得。经检验，是原方程的解。【评注】与有理方程类似，可通过配方法解多个未知数方程。例2求所有的实数，使得。（解根式方程；平方法，配方法）【分析】本题要求解一个关于x的根式方程，如果通过将方程的两边平方的手段，去掉根号，方程将变得复杂，第二步采用配方，简化运算。【解答】移项，两边平方得，整理得，两边除以x，得，配方得，于是，两边乘以x，得，解之得。注意到，所以。经检验，是原方程的解。【评

5、注】解答中利用二次方程的求根公式求根。例3解方程：。（解根式方程；配方法，分解因式法）【分析】观察到，首先考虑将方程移项后进行配方，然后再分解因式使方程得到化简，最后按常规解法，两边平方去掉根号化为整式方程来解。【解答】将方程化为，第一个括号配方得，分解因式得，于是。两边平方后，解得。经检验，是原方程的根。【评注】解答中利用二次方程的求根公式求根。例1解方程：。（解根式方程；配方法，分解因式）【分析】这是一个关于x的根式方程。观察方程的特点，由根号内的式子的系数与根号外的式子的系数的关联性，采用换元法解题。【解答】将方程变形，两边配方得，于是。1）由前一个方程得，分解因式得，于是

6、，解之得。2）由后一个方程得，此方程无解。经检验，都是原方程的根。【评注】解答中第一次两边配方，精彩。例2解方程：。（解根式方程；共轭根式法）【分析】因为，，可将方程的分母简单地去掉。又因为，据此可较简单地解出方程的根。【解答】将方程变形为，即，（1）因为，故得，（2）（1）、（2）两式相减得，即，两边平方得，解之得。经检验，是原方程的根。【评注】解答中利用共轭根式的性质简化了运算。例3解方程：。（解根式方程；换元法）【分析】这是一个关于x的根式方程。观察方程的特点，由根号内的式子的系数与根号外的式子的系数的关联性，采用换元法解题。【解答】令，则原方程变为，分解因式，解之得（舍去

7、），于是，即，分解因式得，解之得，经检验，都是原方程的根。【评注】当解出y后，就考虑将小于零的y舍去，减少计算量。例1解方程：。（解根式方程；换元法）【分析】这是一个关于x的根式方程。观察方程的特点，由根号内的式子的系数与根号外的式子的系数的关联性，采用换元法解题。【解答】令，则，代入原方程得，两边立方得，即，于是，第二个方程即，解之得。还原得。经检验，都是原方程的根。【评注】当解出y后，就考虑将小于零的y舍去，减少计算量。例2解方程：。（解根式方程；换元法）【分析】这是一个关于