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《2001年考研数学二试题与答案解析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、word资料下载可编辑2001年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．把答案填在题中横线上．）（1）＝______．【答案】【考点】洛必达法则【难易度】★★【详解】解析：方法一：方法二：使用洛必达法则计算.（2）设函数由方程所确定，则曲线在点处的法线方程为______．【答案】【考点】隐函数的导数、平面曲线的法线【难易度】★★【详解】解析：在等式两边对x求导,得将代入上式,得故所求法线方程为即x−2y+2=0.（3）＝_______．专业技术资料word资料下载可编辑【答案】【考点】定积分
2、的换元法【难易度】★★【详解】解析：由题干可知，积分区间是对称区间，利用被积函数的奇偶性可以简化计算.在区间上,是奇函数,是偶函数,故（3）过点且满足关系式的曲线方程为______．【答案】【考点】一阶线性微分方程【难易度】★★【详解】解析：方法一:原方程可改写为两边直接积分,得又由解得故所求曲线方程为：方法二:将原方程写成一阶线性方程的标准形式解得专业技术资料word资料下载可编辑又由解得故曲线方程为：（3）设方程有无穷多个解，则a＝______．【答案】【考点】非齐次线性方程组解的判定【难易度】★★【详解】解析：方法一:利用初等行变换化
3、增广矩阵为阶梯形,有可见,只有当a=−2时才有秩对应方程组有无穷多个解.方法二:当系数矩阵的行列式不为零时,方程组有唯一解,因此满足题设条件的a一定使系数行列式为零,即有解得或.由于答案有两个,应将其带回原方程进行检验.显然,当时,原方程无解,因此只能是.专业技术资料word资料下载可编辑二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内．）（1）设则等于（）（A）0．（B）1．（C）（D）【答案】B【考点】复合函数【难易度】★【详解】本题涉及到的主要知识点：复合
4、函数中，内层函数的值域是包含于外层函数的定义域。解析：由题易知，所以，，选B.（2）设当时，是比高阶的无穷小，而是比高阶的无穷小，则正整数等于（）（A）1．（B）2．（C）3．（D）4．【答案】B【考点】无穷小量的比较【难易度】★★【详解】解析：由题易知:（3）曲线的拐点个数为（）（A）0．（B）1．（C）2．（D）3．【答案】C【考点】函数图形的拐点专业技术资料word资料下载可编辑【难易度】★★【详解】解析：由得，或，带入，故有两个拐点.（4）已知函数在区间内具有二阶导数，严格单调减少，且，则（）（A）在和内均有．（B）在和内均有．（C
5、）在内，，在内，．（D）在内，，在内，．【答案】A【考点】函数单调性的判别【难易度】★★★【详解】解析：令，则，因为在区间上，严格单调减少，所以当时，，单调递增，；当时，，单调递减，；故在和内均有，即.（5）设函数在定义域内可导，它的图形如下图所示，则其导函数的图形为（）专业技术资料word资料下载可编辑【答案】D【考点】函数单调性的判别【难易度】★★★【详解】解析：由图可知有两个极值点，横坐标分别记作，故在且仅在这两处的值为，故选D。其中，当时，先增后减再增，故先正再负再正，进一步排除B.三、（本题满分6分）求【考点】不定积分的第二类换元
6、法【难易度】★★★【详解】解析：设则原式专业技术资料word资料下载可编辑四、（本题满分7分）求极限，记此极限为，求函数的间断点并指出其类型．【考点】两个重要极限、函数间断点的类型【难易度】★★★【详解】解析：由此表达式知x＝0及x＝kp（k＝±1，±2，…）都是f（x）的间断点．由于，所以x＝0是f（x）的可去（或第一类）间断点；而x＝kp（k＝±1，±2，…）均为第二类（或无穷）间断点．五、（本题满分7分）设是抛物线上任一点处的曲率半径，是该抛物线上介于点与之间的弧长，计算的值．（在直角坐标系下曲率公式为【考点】曲率半径、定积分的几何应
7、用—平面曲线的弧长、由参数方程所确定的函数的导数【难易度】★★★【详解】解析：抛物线在点处的曲率半径抛物线上的弧长故专业技术资料word资料下载可编辑因此六、（本题满分7分）设函数在上可导，，且其反函数为．若求．【考点】积分上限的函数及其导数、一阶线性微分方程【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：解析：等式两边对x求导得：，又因为是的反函数，故，所以有又因为在处连续，由得故.七、（本题满分7分）设函数，满足，且，，求【考点】自由项为指数函数的二阶常系数非齐次线性微分方程、定积分的分部积分法【难易度】★★★★【详解】解析：因为，所以
8、专业技术资料word资料下载可编辑其对应的齐次微分方程为特征方程为，所以齐次微分方程的通解为设非齐次微分方程的特解为，则代入微分方程得，所以非齐次微分方程的通解为，又,,得,故求
