数列的通项与求和经典教案

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1、数列等差数列等比数列定义数列{an}的后一项与前一项的差an－an－1为常数d数列{an}的后一项与前一项的比为常数q（q≠0）专有名词d为公差q为公比通项公式an=a1+（n－1）dan=a1·qn－1前n项和Sn=Sn=通项公式一、利用公式求通项公式已知一个数列是特殊的数列，只要求出首项和公差或公比代入公式即可求出通项例1　等差数列的前项和记为，已知，求通项．解：，　　　　　①，②②－①，得．代入①，得．．例3．等差数列是递增数列，前n项和为，且成等比数列，．求数列的通项公式.解：设数列公差为∵成等比数列，∴，即∵，∴………………………………①∵∴…………②由①②得：，∴一、由的前项和与间

2、的关系，求通项利用此处应注意并非对所有的都成立，而只对当且为正整数时成立，因此由求时必须分和两种情况进行讨论．例1设数列的前项和，求数列的通项公式．解：当时，；当时，．此式对也适用．．例2（1）；⑵.求数列的通项公式【解析】⑴当时，，当时，.而时，，.⑵当时，，当时，.而时，，.（3）.已知为数列的前项和，，，求数列的通项公式（4）已知为数列的前项和，，求数列的通项公式.（5）．已知数列的前项和满足．求数列的通项公式。（08全国Ⅱ卷理节选）设数列的前项和为，已知，设，求数列的通项公式．【解析】依题意，，即，由此得，点评：利用数列的前项和求数列的通项公式时，要注意是否也满足得出的表达式，若不满足

3、，数列的通项公式就要用分段形式写出．一、利用递推关系，求通项公式根据题目中所给的递推关系，可构造等差数列或采取叠加，叠乘的方法，消去中间项求通项公式．例.数列中，；求数列的通项公式．1.叠加法例1：数列中，，求数列的通项公式解：因为，所以，，，，．将上面个式子叠加，得，所以．【例2】⑴已知数列中，，求数列的通项公式；2.叠乘法例1.（1）数列中，，求数列的通项公式解：由，变形为，，．将上面的式子叠乘，得．．（2）、已知数列中，，求数列的通项公式.【解析】由得，.（3）.已知数列中，,求数列的通项公式.（4）已知数列满足，，求。【反思归纳】⑴迭加法适用于求递推关系形如“”；迭乘法适用于求递推关系

4、形如““；⑵迭加法、迭乘法公式：①②.1.构造等比数列求通项（构造法）【例1】已知数列中，，求数列的通项公式.【解析】，是以为公比的等比数列，其首项为·例2．设数列：，求(2006.重庆.14）在数列中，若，则该数列的通项【例3】已知数列中，，求数列的通项公式.【解析】，，令则，【反思归纳】递推关系形如“”适用于待定系数法或特征根法：①令；②在中令，；③由得，.4.倒数法例1.数列中，，则的通项.【解析】由，得例2：，求数列的通项公式.数列求和1、公式法：如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前n项和的公式来求.①等差数列求和公式：②等比

5、数列求和公式：例1.已知数列{bn}是等差数列，b1=1,b1+b2+…+b10=145.求数列{bn}的通项bn；2、倒序相加法：类似于等差数列的前n项和的公式的推导方法。如果一个数列，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用正序写和与倒序写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和。这一种求和的方法称为倒序相加法.例1、已知函数（1）证明：；（2）求的值.解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边（2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，两式相加得：所以.小结：解题时，认真分析对某些前后具有对称性的数列，可以运用倒序相加法求和.例2、求值：3、错位相减法：类似于等比数列

6、的前n项和的公式的推导方法。若数列各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘得到，即数列是一个“差·比”数列，则采用错位相减法.若，其中是等差数列，是公比为等比数列，令则两式相减并整理即得【例1】求数列1，3x，5x2,…,(2n-1)xn-1前n项的和．解 设Sn=1+3+5x2+…+(2n-1)xn-1．   ①(2)x=0时，Sn=1．(3)当x≠0且x≠1时，在式①两边同乘以x得xSn=x+3x2+5x3+…+(2n-1)xn，   ②①-②，得(1-x)Sn=1+2x+2x2+2x3+…+2xn-1-(2n-1)xn．例2、（2008年全国Ⅰ第19题第（2）小题，满分6分）已知，求

7、数列｛an｝的前n项和Sn.解：①②②—①得4.裂项法：把通项公式整理成两项(式多项)差的形式，然后前后相消。常见裂项方法：（1），特别地当时，（2），特别地当时（3）【1】注：在消项时一定注意消去了哪些项，还剩下哪些项，一般地剩下的正项与负项一样多。在掌握常见题型的解法的同时，也要注重数学思想在解决数列问题时的应用。5、分组求和法：有一类数列，它既不是等差数列，也不是等比数列.若将这类数列适当拆