映射与函数 反函数.docx

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1、授课日期班级课题:§1.2映射与函数反函数教学目的、要求:1.掌握映射与函数的概念2.掌握反函数的概念教学重点:映射、函数、反函数的概念教学难点:如何运用概念解题授课方法:讲解法教学参考及教具(含电教设备):教参授课执行情况及分析板书设计或授课提纲:§1.2映射与函数反函数一、复习:1、集合、绝对值、区间的概念2、集合、绝对值、区间的运算三、新授:1、映射的概念及运算2、函数的概念及运算3、反函数的概念及运算四、练习:P9-9、10、11、12、13、14、15、16五、小结:1、映射的概念2、函数的概念3、反函数的概念六、作业:P-17、18、19

2、、20§1.2映射与函数反函数一、复习:1.集合、绝对值、区间的概念;2.集合、绝对值、区间的特性二、引入:函数是数学始终的一个重要概念,是这门课程的基本推理工具。熟练掌握初等函数的概念是学好高等数学的关键。三、新授:1、映射:定义一:设A,B是两个非空集合,如果按照一个确定的规则f,对于集合A中的每一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,则称f是由集合A到集合B的映射。记作:f:A→B如果A中的元素a,对应的是B中的元素b,则称b为a的像,a为b的原像。在定义中,要注意按照规则f确定的集合B中的元素存在且是唯一的。例如图1.7(b),1.7(c

3、)不表示由集合A到集合B的映射,因为图1.7(b)中集合A的元素a对应集合B中的两个元素b,c,不符合映射定义中唯一性的要求,而图1.7(c)中集合A的元素在集合B中无元素对应,也不符合映射定义中存在性的要求,但要注意,图1.7(d)所表示的是映射,尽管集合A中存在两个元素对应集合B中的同一个元素b,但不违背映射的定义。(a)(b)5分钟1分钟55分钟注意像的概念充分利用图像说明一一对应和一对多的关系(c)(d)图1.7例1:设A表示某一瞬间出生在地球上的人的集合,B表示地球上每一点的坐标(经纬度)的集合,规则f是A中的人对应其出生地的坐标,则f是由

4、A到B的映射。例2:设是除去0的自然数集合,中所有大于1的元素集记为A,是所有正实数的集合,对应规则f是将A中元素取对数(常用对数),则f是由A到的映射。例3:设A=,对应规则f是将集合A中元素取平方,则f是由A到B的映射。2、函数:定义二:设D、B为两个非空实数集合,对于数集D中的每一个数x,按照确定的对应规则f,对应着数集B中唯一的一个数y,则称f是定义在集合D上的函数.D称为f的定义域,与对应的实数y,记作。与对应的y值有时记为集合称为函数的值域。显然习惯上,x称为自变量,y称为因变量。要注意f是函数,f(x)是函数值。但是研究函数总是通过函数

5、值来进行的。为了方便,以后也把f(x)称作x的函数,或y是x的函数。如果对于自变量x的某一个值,因变量y能够得到一个确理解函数与映射的区别。注意:函数是一种映射关系事实上,函数就是集合D到集合B的一种映射注意:对于不同的函数,应用不同的记号,如f(x),g(x),定的值,那么就称函数f(x)在x处有定义。有时,会出现对于变量x的一个值,有几个y值与之对应的情形,根据函数定义,y不是x的函数,但是为了方便,我们约定把这种情况称之为y是x的多值函数,对于多值函数通常是限制其y的变化范围使之成为单值,再进行研究,例如,反三角函数是多值函数,当y限制在时,就

6、是单值了(这时习惯上称为主值,记作)。通过对的研究就可了解。例4:设函数。求解:例5:设,求解:令=t,则x=t-3即所以例6:设,证明:证明:因为F(x),G(x)换元时强调换元后的定义域所以例7:求函数的定义域解:这个函数是两项之和,所以当且仅当每项都有定义时,函数才有定义,每一项的定义域是,第二项的定义域是。所以函数f(x)的定义域是,或写区间(1,2].2、函数的表示法:函数有三种表示法:公式表示法、表格表示法和图形表示法。图形表示法的优点是直观形象,一目了然,且可看到函数的变化趋势。它的缺点是不便于分析研究。表格表示法在设计工作中常用,它的

7、优点是使用方便,如对数表,三角函数表,它的缺点也是不便于分析研究,公式表示法在理论研究中,推导论证中使用,它的优点是表达清晰,紧凑,缺点是抽象,不易理解。3、建立函数关系:寻找函数关系是高等数学所要研究的课题之一,在这儿我们仅介绍利用简单的几何或物理关系建立函数关系,在以后的一些章节中还将介绍利用微积分建立函数关系。例8:有一块边长为a的正方形铁皮,将它的四角剪去适当的大小相等的小正方形,制成一只无盖盒子,求盒子的体积与小正方形边长之间的函数关系。解:设剪去的小正方形的边长为x,盒子的体积为V,由图1.8,容易得到V=xxaxa-2x图1.8例9:设

8、有一圆锥容器,容器的底半径为R厘米,高为H厘米,现以a立方厘米每秒的速率往容器内注入水,试把容器中的水的容积

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