捕食者具有流行病的捕食扩散模型的分析论文

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1、捕食者具有流行病的捕食扩散模型的分析论文【摘要】目的建立并分析一类捕食者具有流行病的捕食扩散模型，重点研究该方程组解的定性性质。方法利用线性化和特征值方法及Lyapunov稳定性理论。结果得到了捕食者绝灭和疾病成为地方病的充分条件。结论我们的结果表明，当捕食者的转化率大且接触率大时捕食者的疾病成为地方病；而当接触率小时该疾病最终消除。如果捕食者的接触率足够小时，连捕食者都最终消亡。【关键词】捕食模型扩散流行病稳定性Abstract：ObjectiveToformulateandanalyzeapredator-preydiffusionmo

2、delofpredatoricdiseaseandtostudyitsqualitativeproperties.MethodsLinearizationandeigenvalueandthetheoryofLyapunov′sstabilityicdisease.ConclusionOurresultsshoic.Ifthecontactrateissmall,thediseaseinatedeventually.=Δmax{ρ1,‖η1(x)‖∞},若ρ∈(ρ1,+∞)，则Vt≤∫Ω-b(u1-ρ1)2dx-∫Ωd1ρ1u21u12d

3、x≤-b∫Ω(u1-ρ1)2dx-d1ρ1M2∫Ωu12dx-bg(t)-d1ρ1M2h(t)由u1(x,t)的一致有界性知g′(t),h′(t)在［1,+∞］上有界，利用引理1有limt→+∞g(t)=limt→+∞∫Ω(u1-ρ1)2dx=0,limt→+∞h(t)=limt→+∞∫Ωu12dx=0令u11｜Ω｜∫Ωu1dx，对上式应用Poincare不等式得limt→+∞∫Ω(u1-u1)2dx=0，又因为｜Ω｜(u1-ρ1)2=∫Ω(u1-u1+u1-ρ1)2dx≤2［∫Ω(u1-u1)2dx+∫Ω(u1-ρ1)2dx］，故

4、在x∈Ω内有limt→+∞u1=ρ1。再利用文献［2，定理A2］得‖u1(x,t)‖C2,α(Ω)≤M,t≥1，即存在子列{tm}，tm→+∞和非负函数t→+∞‖u1(x,tm)-t→+∞‖u1(x,tm)-ρ1‖C2(Ω)=0，于是对ε∈(0,ρ-ρ1)，T＞0，当t＞T时，总有u1(x,t)＜ρ1+ε，（x,t）∈Ω×(0,∞)。从而，对系统(2)的第二个方程有下式成立，u2t-d2Δu2＜-kp(ρ-ρ1-ε)u2。故limt→+∞u2（x,t）=0,x∈Ω。同理，limt→+∞u3(x,t)=0,x∈Ω。综上所述，当ρ∈(ρ1

5、,+∞)时，E1是全局渐近稳定的。对E*=E2(ρ,bp(ρ1-ρ),0),构造Lyapunov函数V(x,t)=∫Ω{(u1-ρ-ρlnu1ρ)+1k［u2-bp(ρ1-ρ)-bp(ρ1-ρ)lnpu2b(ρ1-ρ)］+1ku3}dx此时ρ＜ρ1，显然V(x,t)≥0，且V(x,t)=0E*=E2，而Vt=∫Ω{(u1-ρ)(a1-bu1-pu2)+1k［u2-bp(ρ1-ρ)］(-a2+kpu1-βu3)+u3k(-a3+βu2)}dx+∫Ω{(1-ρu1)d1Δu1+1k［1-b(ρ1-ρ)pu2］d2Δu2+1kd3Δu3}dx=

6、∫Ω{-b(u1-ρ)2+1k［bβp(ρ1-ρ)-a3］u3}dx-∫Ω［ρd1u21u12+b(ρ1-ρ)d2kpu22u22］dx若ρ∈(ρ2,ρ1)，则Vt≤-∫Ω［b(u1-ρ)2+bβkp(ρ-ρ2)u3］dx-∫Ω［ρd1u21u12+b(ρ1-ρ)d2kpu22u22］dx类似于文献［7］及上述工作可证，当ρ∈(ρ2,ρ1)时，E2是全局渐近稳定的。最后，对E*=E3(ρ2,α3β，kpβ(ρ2-ρ))=E3(u*1,u*2,u*3),构造Lyapunov函数V(x,t)=∫Ω［(u1-u*1-u*1lnu1u*1)

7、+1k∑3i=2(ui-u*i-u*ilnuiu*i)］dx此时ρ∈(0,ρ2)，显然V（x,t）≥0，且V(x,t)=0E*=E3，而Vt=∫Ω［(u1-u*1)(a1-bu1-pu2)+1k(u2-u*2)(-a+kpu1-βu3)+1k(u3-u*3)(-a3+βu2)］dx+∫Ω［(1-u*1u1)d1Δu1+1k(1-u*2u2)d2Δu2+1k(1-u33u3)d3Δu3］dx=∫Ω-b(u1-ρ2)2dx-∫Ω［ρ2d1u21u12+b(ρ1-ρ2)d2kpu22u22+kp(ρ2-ρ)d3kβu23u32］dx类似于

8、文献［7］及上述工作可证，若ρ∈(0,ρ2)，有E3全局稳定。经上述分析得下列全局渐近稳定性结果：定理4当ρ∈(0,ρ2)时，E3全局渐近稳定，出现地方病；当ρ∈(ρ2,ρ1)时