专题~预习复习“隐形圆”问题

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1、-“隐形圆”问题江苏省通州高级中学一、问题概述江苏省高考考试说明中圆的方程是C级知识点，每年都考，但有些时候，在条件中没有直接给出圆方面的信息，而是隐藏在题目中的，要通过分析和转化，发现圆（或圆的方程），从而最终可以利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐形圆”问题．二、求解策略如何发现隐形圆（或圆的方程）是关键，常见的有以下策略．策略一利用圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹）确定隐形圆22例1（1）如果圆(x－2a)＋(y－a－3)＝4上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a的取值范围是．6a05略解：到原点的距离为1的点的轨迹是以原点为圆心的单位圆，转

2、化到此单位圆与已知圆相交求解．2222（2）（2016年南京二模）已知圆O：x＋y＝1，圆M：(x－a)＋(y－a＋4)＝1．若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB＝60°，则a的取值范围为．解：由题意得OP2，所以P在以O为圆心2为半径的圆上，即此圆与圆M有公共2222点，因此有21OM211≤a(a4)≤92≤a≤2．2222（3）（2017年苏北四市一模）已知A、B是圆C:xy1上的动点，AB=3，P是圆122C:(x3）(y4)1上的动点，则PAPB的取值范围是．[7,13]2略解：取AB的中

3、点M，则C11的圆上，且1M=，所以M在以C1圆心，半径为22PAPB2PM，转化为两圆上动点的距离的最值．22（4）若对任意R，直线l：xcos＋ysin＝2sin(＋)＋4与圆C：(x－m)＋(y－3m)615＝1均无公共点，则实数m的取值范围是．(,)22略解：直线l的方程为：(x-1)cos＋(y-3)sin＝4，M(1,3)到l距离为4，所以l是以M为圆心半径为4的定圆的切线系，转化为圆M与圆C内含．-222注：直线l：(x-x0)cos＋(y-y0)sin＝R为圆M：(xx)(xy)R的切线系．0022例2（2017年南通

4、市一模）在平面直角坐标系xOy中，已知B，C为圆xy4上两点，点A(1，1)，且AB⊥AC，则线段BC的长的取值范围为．解：法一（标解）：设BC的中点为Mx,y，22222y因为OBOMBMOMAM，2222所以4xyx1y1，BMC22113A化简得xy，222xO1132所以点M的轨迹是以，为圆心，为半径的2226262，，所圆，所以AM的取值范围是22例2以BC的取值范围是62，62．法二：以AB、AC为邻边作矩形BACN，则BC＝AN，由矩形的几

5、何性质（矩形所在平面上的任意一点到其对角线上的两个顶点的距离的平方2222和相等），有OBOCOAON，所以ON＝6，故N在以O为圆心，半径为6的圆上，所以BC的取值范围是62，62．22变式1（2014年常州高三期末卷）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O:xy16，点P(1,2)，M、N为圆O上两个不同的点，且PMPN0，若PQPMPN，则PQ的最小值为．335y2222变式2已知圆C：xy9，圆C：xy4，定点A12P(1,0)，动点A,B分别在圆C1和圆C2上，满足APB90，则线段AB的取值范围．[231,231

6、]BOPx变式3已知向量a、b、c满足a3,b2,c1,(ac)(bc)0，则ab范围为．[231,231]-0策略二动点P对两定点A、B张角是90（kk1，或PAPB0）确定隐形圆PAPB22例3（1）（2014年北京卷）已知圆C：(x3)(y4)1和两点A(m,0)，B(m,0)，若圆上存在点P，使得APB90，则m的取值范围是．4,6略解：由已知以AB为直径的圆与圆C有公共点．（2）（海安2016届高三上期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点P(−1，0)，Q(2，1)，直线l：axbyc0其中实数a，b，c

7、成等差数列，若点P在直线l上的射影为H，则线段QH的取值范围是．[2,32]解：由题意，圆心C(1，－2)在直线ax＋by＋c＝0上，可得a－2b＋c＝0，即c＝2b－a．直线l：(2a－b)x＋(2b－c)y＋(2c－a)＝0，即a(2x＋y－3)＋b(4－x)＝0，2xy30,由，可得x＝4，y＝－5，即直线过定点M(4，－5)，4x022由题意，H在以PM为直径的圆上，圆心为A(5，2)，方程为(x－5)＋(y－2)＝50，∵

8、CA

9、＝42，∴CH最小为52－42＝2，CH最大为42＋52＝92，∴线段CH长度的取值范围是[2，