高教社杯全国大学生数学建模

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1、2005高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目B题：DVD在线租赁随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。例如，音像制品的在线租赁就是一种可行的服务。这项服务充分发挥了网络的诸多优势，包括传播范围广泛、直达核心消费群、强烈的互动性、感官性强、成本相对低廉等，为顾客提供更为周到的服务。考虑如下的在线DVD租赁问题。顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方

2、式尽可能满足要求。会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。会员看完3张DVD之后，只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。请考虑以下问题：(1)网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数（表1给出了其中5种DVD的数据）。此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。假设网站现

3、有10万个会员，对表1中的每种DVD来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD？如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD呢？(2)表2中列出了网站手上100种DVD的现有张数和当前需要处理的1000位会员的在线订单（表2的数据格式示例如下表2，具体数据请从http://mcm.edu.cn/mcm05/problems2005c.asp下载），如何对这些DVD进行分配，才能使会员获得最大的满意度？请具体列出前30位会员（即C0001~C0030）分别获得

4、哪些DVD。(3)继续考虑表2，并假设表2中DVD的现有数量全部为0。如果你是网站经营管理人员，你如何决定每种DVD的购买量，以及如何对这些DVD进行分配，才能使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大？(4)如果你是网站经营管理人员，你觉得在DVD的需求预测、购买和分配中还有哪些重要问题值得研究？请明确提出你的问题，并尝试建立相应的数学模型。DVD在线租赁评阅要点问题（1）网站购买DVD的最优数量对表1的一种理解是根据表1得到某DVD被选中的概率（记为），设网站的会员总数量为，在比较大的情况下，则该DV

5、D的总需求可用正态分布N(np,npq)近似（），据此可在一定的置信水平下得到有需求会员人数的上限M。设该DVD购买x张，当xM/2时，一种简单的近似方法是认为1个月该DVD的可用张数是1.6x张，要保证一个月至少P%有需求的会员能得到满足,即1.6xM*P%，可求得最小的x；当x

6、（一个月或半个月）的需求，并进一步假设以后时段的需求持续不变或按某种规律变化。可相应地考虑三个月的问题.问题（2）网站分发DVD用分别表示当前需要分发的会员订单数量和DVD种类，用表示第种DVD的现有数量，用表示表格文件中给出的订单矩阵。用0-1变量表示是否选择第种DVD分配给第位会员，用变量yi表示第位用户是否得到DVD。一种容易想到的方法是累加会员满意度，使其最大化。会员得到第种DVD的满意度sij可以自行定义。一种0-1线性规划模型：问题及数据形式(EXCEL表格)DVD编号D001D002D003D004…现有

7、数量10401520…会员在线订单C00016000…C00020000…C00030003…C00040000…………………cjaij[注]本题（尤其B题）数据量较大，但很容易用Lingo软件算出最后结果。如果将模型松弛成线性规划求解再舍入到0-1解，应该验证解的可行性和估计解的误差。如果模型正确但因软件限制影响到计算结果，可酌情处理。如果采用启发式算法求解问题，应该说明算法的效率和效果。进行敏感性分析也是值得鼓励的。此外，建立网络优化的模型也是可能的。问题（3）购买和分发同时考虑一种近似方法是在一定的假设下把问题分

8、解成刚刚考虑过的购买和分发两个子问题。考虑到一个月内可能一个会员要发货两次，这又是一个多阶段的决策问题，建立随机决策模型并寻找最优决策是可能的，但由于后一阶段决策时需要考虑前一阶段哪些会员归还了哪些DVD，因此难度较大。采用数值模拟（仿真）也是一种方法。问题（4）其他问题(D题没有这一问)要求同学自己思考、提出问题，并解决问题。这