分岔与奇怪吸引子

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1、第二章分岔与奇怪吸引子第一节简单数学分岔第二节平方映射与倍周期分岔第三节流体不稳定性与洛伦兹方程第四节李雅普诺夫指数与奇怪吸引子分岔与奇怪吸引子第一节简单数学分岔引言分岔概念1切分岔2转换键型分岔3叉式分岔4霍夫型分岔弹性压杆的分岔引言分岔概念分岔是一种普遍的自然现象。力学上指一种力学状态在临界点发生的转变、分开或一分为二。如：一根受力的弹性压杆当压力超过压杆的临界负荷时，会出现弯曲。许多重要物理现象数学上可以某类微分方程来描述。数学上分岔研究非线性微分方程当某一参数变化时其解发生突变的临界点附近的行为。在P—s平面上当P

2、的唯一平衡状态是保持直线；当P>Pc时有三种平衡状态：保持直线(OC方向)、偏向+s或-s方向,不同平衡状态的分岔点为Pc。这时保持直线是不稳定的，稍有扰动平衡状态便会偏向+s或-s。两种偏向+s或-s状态是稳定的。1.切分岔数学模型利用方程：由得平衡点(a)当μ＜0时,解x0为虚数，因此不存在奇点，(b)当μ＞0时出现两个奇点,，说明上述方程的解在x0=0处发生了分裂。μ＞0两个奇点的稳定性在解x0附近取一点，计算它与平衡点距离随时间变化。设距离：随时间变化：忽略高阶量解，当时，，此解是稳定的，是稳定的结点。解，当时，，解是不稳定的

3、，它是鞍点。切分岔是一个鞍–结分岔相流形状解的稳定性与相流1.切分岔解2转换键型分岔利用方程：解在分岔点(x0,μ)＝(0,0)处发生转折，故称转换键型分岔解的稳定性采用与分析切分岔稳定性同样的方法，知：μ＜0，平衡点x0=0是稳定的,平衡点x0=-m是不稳定的；μ＞0，平衡点x0=0是不稳定的，平衡点x0=+m是稳定的。数学模型平衡点由分岔图可见，μ＜0或μ＞0都是一对鞍–结点：μ＜0时，轴线是结点，是不稳定的；μ＞0时，的轴线是不稳定的，是稳定结点。由鞍点与稳定结点附近的相轨线流向，转换键型分岔的相流形状如下图。2转换键型分岔相流

4、3叉式分岔利用方程：由得平衡点分岔图形象一把叉子，故称岔式分岔。解的稳定性：μ＜0时只有x0=0的平衡点，经分析方法可知它是稳定的。μ＞0有三个平衡点，x0=0是不稳定的，解是稳定的。数学模型相流图形杜芬方程具有叉式分岔由势能曲线知：a.在时仅有一个平衡点：b.在时存在三个平衡点：可见在参数k=0处发生了一次从单解转为三解的叉式分岔。c.在这三个平衡点中，，处在势能极小点，是稳定的；处在势能极大点，是不稳定的平衡点。3叉式分岔杜芬方程的叉式分岔4霍夫型分岔数学模型引入极坐标求导代入原方程令正弦余弦系数相等对方程积分,可得：C，t0为积

5、分常数。1.μ≤0，距离r随时间而缩短，当时间时。说明μ轴线上各点是稳定的焦点。2.μ＞0，r值随时间增长，不论初始r的大小；当时形成闭合圈即极限环4.霍夫型分岔分岔分析参数μ从负变到正，从焦点产生出极限环,这种分岔称霍夫分岔。分岔点位于μ=0。范德玻耳方程分岔引进参数作用量I与角度量q相位求平均平衡点：对于平衡点I2邻域有:为初始对I2的偏离量。作用量I对的偏离量随时间指数减小。当，,,I2是稳定的解。4.霍夫型分岔对于平衡点I1邻域有:I0是初始对I1的偏离小量。作用量I随时间指数增长,I1是不稳定解,为不稳定焦点。范德玻耳方程分

6、岔4.霍夫型分岔结论范德玻耳方程霍夫型分岔与参数的e正负有关。上面讨论的是e为正值情况，即：如果e为正值，相平面上坐标原点是不稳定的焦点，而极限环是稳定的。不论初始相点处于环内还是环外，时总是趋向于极限环。如果e为负值，情况刚好相反，坐标原点变为稳定的焦点，为系统的不动点，而极限环则是不稳定的。当时，环内相点趋于不动点，环外相点则远离环而去。第二节平方映射与倍周期分岔1.平方映射2.平方映射的不动点及其稳定性3.平方映射的周期解及其稳定性4.倍周期分岔的功率谱物理学上一个动力学系统可以用连续变量表示，也可以用离散数表示。一个以为连续变

7、量的单参数的动力学系统：这里为系统参数。设系统状态作等间隔t，t+1，t+2，t+3，…变化，则时间演化方程改写为：当时间间隔不取整数，各时刻写成相应的状态为：时间演化方程变成离散方程：数学上称为映射的方程。在非线性发展史上第一个将映射方程用于研究系统进入混沌状态的是美国科学家梅(MayRobert)映射方程1．平方映射映射方程计算对一个映射的计算采用的是迭代方法。即给定一个初值将其代入映射计算得，将代入映射计算得，由可算得，如此一直计算得：例如：一个简单映射1次迭代：2次迭代：n次迭代：于是有：如果将值看成为一条线上的一个点，则该组

8、数值就构成一条轨道。1．平方映射动力学系统用连续变量表示为微分方程，离散数表示时为映射(map)，两者对应关系为：映射与微分方程对应关系迭代计算解方程1．平方映射平方映射导出—生态平衡方程1838年，生物学家伏埃胡斯脱（