《二元函数的极值》ppt课件

《《二元函数的极值》ppt课件》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第6章：多元函数微分学内容提要§6.4二元函数的极值§6.4.1无条件极值§6.4.2条件极值§6.4.1无条件极值极大值与极小值统称为极值,极大值点与极小值点统称为极值点.定义6.7设二元函数z=f(x,y)在(x0,y0)点的某个邻域内有定义,如果对于任意当时恒有成立,则称为函数的极小值,点称为极小值点;如果对于任意当时恒有成立,则称为函数的极大值,点称为极大值点.1.极值的概念§6.4.1无条件极值1.极值的概念例如:函数z=x2+y2在点(0,0)取到了极小值,(0,0)点为该函数的极小值点.分析：该方程所表示的图形？首先用平面z=c来截该图形,可将z=c代入方程中得

2、截口为x2+y2=c。当c>0时，它是半径为的圆，且平面往上平移时圆愈来愈大;当c=0时,有x2+y2=0即:x=0,y=0,可见这时截口仅是一个点,即原点;而当c<0时,由于方程x2+y2<0无意义,可见当平面位于坐标平面下方时无截口,说明该图形必位于坐标平面的上方.§6.4.1无条件极值1.极值的概念例如:函数z=x2+y2在点(0,0)取到了极小值,(0,0)点为该函数的极小值点.综上可见,该图形是抛物线绕轴旋转一周所得到的曲面,称该曲面为旋转抛物面.§6.4.1无条件极值2.极值的必要条件定理6.2如果函数f(x,y)在(x0,y0)点处存在一阶偏导数，且在点(x0,

3、y0)取到极值,则必有证明：令y=y0，则z=f(x,y)是x的一元函数。因二元函数f(x,y)在点（x0，y0）取到了极值,不妨假设是极大值，则一元函数在点x0必也达到极大值。又因函数f(x,y)在点（x0，y0）存在偏导数,所以一元函数z=f(x,y0)在点x0必可导。于是,根据一元函数极值的必要条件得同理可证§6.4.1无条件极值2.极值的必要条件定理6.2如果函数f(x,y)在(x0,y0)点处存在一阶偏导数，且在点(x0,y0)取到极值,则必有注1：该定理仅是取极值的必要条件,并非充分条件.注2：常称使得的点为函数的驻点.注3：驻点不一定就是极值点.注4：极值点有可

4、能是驻点,也有可能是一阶偏导数不存在的点.§6.4.1无条件极值3.极值的充分条件定理6.3设二元函数f(x,y)在(x0,y0)点的某一邻域内有连续的二阶偏导数,且(x0,y0)点为函数f(x,y)的驻点。记：当B2-AC>0时，f(x0,y0)不是极值；当B2-AC<0时，且A<0时，f(x0,y0)是极大值；当B2-AC<0时，且A>0时，f(x0,y0)是极小值；当B2-AC=0时，不能判定f(x0,y0)是否为极值，需其他方法判定。§6.4.1无条件极值4.求二元函数极值的一般步骤(1)求二元函数的偏导数,令两个偏导数为零,求出驻点;(2)求出二阶偏导数,计算B2-

5、AC;(3)将驻点分别代入B2-AC求出值,根据定理6.3判断是否为极值点,然后再根据A在极值点处值的符号确定是极大值点还是极小值点;(4)求出极值点的函数值即为函数的极值.再将点代入得,所以点是极值点,又由于,所以点是极小值点.将点代入得,所以不是该函数的极值点.§6.4.1无条件极值例1：求二元函数f(x,y)=x3+y3-3xy的极值.解:令得方程组解之得:于是得其驻点为求二阶偏导数得因此其极小值§6.4.1无条件极值例2：设某企业生产两种产品A和B,已知其总成本C(万元)与A、B两种产品的产量x(百件)与y(百件)之间具有如下关系:试问A、B两种产品的产量分别为多少时

6、可以使得总成本最低?故:当A、B两种产品的产量分别为100件和200件时,可使总成本最低.最低成本为5万元.解:令得方程组而所以因此(1,2)为极小值点,又由于仅有唯一一个极值点,因而它也是最小值点。此时C(1,2)=5(万元)解得驻点为（1,2）§6.4.2条件极值1.条件极值的概念在求函数z=f(x,y)的极值时,有时其自变量x,y会受到另一个方程g(x,y)=0的制约,我们称这样的函数极值为条件极值,其中称方程g(x,y)=0为约束条件.以上条件极值问题是针对二元函数定义的。类似的也可以定义三元、四元及更多元的条件极值,且它们的约束条件可以不止一个,但要注意约束条件的个

7、数须小于自变量的个数.§6.4.2条件极值2.条件极值的解法条件极值一般有两种解法:(1)化为无条件极值法在条件极值中,可以从约束条件g(x,y)=0中解出变量y(或变量x),代入目标函数中,则可将条件极值问题转化为无条件极值问题,这种方法称之为化无条件极值法;但条件极值往往很难化为无条件极值.(2)拉格朗日乘数法——直接求条件极值问题的方法(2)拉格朗日乘数法——解题步骤构造拉格朗日函数分别求L(x,y,z)对x、y、的偏导数,令其为零建立方程组(3)判断(x0,y0)是否为极值点(一般可以根据实际问