二三阶行列式2n阶行列式内

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1、线性代数是高等代数的一大分支。一次方程称为线性方程，研究线性方程及系列相关问题的代数就称做线性代数。由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。由于它的简便，线性代数具有特殊的地位。尤其是它特别适用于电子计算机的计算，所以它在数值分析与运筹学中占有重要地位。线性代数出现于十七世纪,主要理论成熟于十九世纪.随着科学技术的发展，特别是电子计算机使用的日益普遍，作为重要的数学工具之一，线性代数的应用已经深入应用到自然科学、社会科学、工程技术、经济、管理等各个领域。第一章行列式(6个学时)第一节二阶、三阶行列式第五节克莱

2、姆法则第三节行列式的性质第二节n阶行列式第四节行列式按行(列)展开用消元法解二元线性方程组一、二阶行列式的引入（一）二阶行列式方程组的解为方程组的解为由以下方程组的系数确定.我们用记号来表示代数和即：主对角线副对角线例1.（一）二阶行列式对角线法则以上的行列式的计算方法常称为：行标列标（二）三阶行列式定义记（5）式称为数表（4）所确定的三阶行列式.列标行标对角线法则注意红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号．说明1对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．四阶及四阶以上的行列式不能用对角线法则!或者：对角线法则注意红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘

3、积冠以负号．说明1对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．四阶及四阶以上的行列式不能用对角线法则!把第一，二两列抄在行列式右边+++---三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积.其中三项为正,三项为负.三阶行列式的特点:例1解按对角线法则，有例3解：的充分必要条件是什么？当且仅当第一章行列式第一节二阶、三阶行列式第五节克莱姆法则第三节行列式的性质第二节n阶行列式第四节行列式按行(列)展开(一)排列与逆序第二节n阶行列式由n个不同的数码1,2,…n组成的有序数组,称为一个n级排列。例：12345及其34215是五级排列，1194、4567不是四级

4、排列。例如排列32514中，我们规定各元素之间有一个标准次序,n个不同的自然数，规定由小到大为标准次序.排列的逆序数32514逆序逆序逆序----------此排列中所有逆序的总数排列的逆序数排列中此元素前面比它大的数码个数之和排列中某元素的逆序数---------在一个排列中，若数(前面的大于后面的)则称这两个数组成一个逆序.逆序-------------此排列中所有逆序的总数排列的逆序数排列中此元素前面比它大的数码个数之和排列中某元素的逆序数---(2)求每个元素的逆序数之总和求排列的逆序数的方法例1求排列42315的逆序数解42315于是排列42315的逆序数(

5、记为N(42315))为(1)求排列中每个元素的逆序数在一个排列中，若数(前面的大于后面的)则称这两个数组成一个逆序.逆序---例2:求排列32514的逆序数.32514故此排列的逆序数(记为N(32514))为:N(32514)=3+1+0+1+0=5.解:(2)求每个元素的逆序数之总和求排列的逆序数的方法(1)求排列中每个元素的逆序数例3计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.解此排列为偶排列.逆序数为奇数的排列称为奇排列;逆序数为偶数的排列称为偶排列.排列的奇偶性解当时当时故为偶排列故为奇排列.对换换,称为此n级排列的一个对换.对调,其它数码不变,仅将它的两个

6、数码得到另一个排列这样的变在一个排列中,如果例如:（1）相邻对换：设原排列为：A,B表示除证明：两个数码以外的其他数码，正序→反序反序→正序故新旧排列的奇偶性相反。定理1.1任意一个排列经过一个对换后奇偶性改变。但是，一般对换通常可以多次的相邻对换得到（2）一般对换：设原排列为：（此步经过了s+1次相邻对换）再作相邻变换：（这一步经过了s次相邻对换）即新排列可由原排列经过2s+1次的相邻对换得到。由（1）知经一次相邻对换排列奇偶性改变，故经过2s+1次相邻对换，新排列与原排列的奇偶性相反。定理1.2n级排列共有n!个，其中奇偶排列各占一半。例:对于3级排列,因3级排列

7、的总数共有所有的3级排列如下:123231312321213132N(123)=0偶排列N(231)=2偶排列N(312)=1+1=2偶排列N(321)=2+1=3奇排列N(213)=1奇排列N(132)=1奇排列☆奇偶排列经过一次对换所得的排列是原来的所有排列中的一个,并没有产生新的(即是覆盖不是插入)设其中奇排列为p个，偶排列为q个。因n级排列的总数共有设想将所有的奇排列都施以同一种对换，则p个奇排列全部变成偶排列，同理将所有的偶排列都施以同一种对换，则q个偶排列全部变成奇排列，故有：定理1.2n级排列共有n!个，其中奇偶排列各占一半。证明：得到