数值微分和数值积分

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1、第二章数值微分和数值积分数值微分函数f(x)以离散点列给出时，而要求我们给出导数值，函数f(x)过于复杂这两种情况都要求我们用数值的方法求函数的导数值微积分中，关于导数的定义如下：自然，而又简单的方法就是，取极限的近似值，即差商向前差商x0x0+h由Taylor展开因此，有误差向后差商x0-hx0由Taylor展开因此，有误差中心差商x0-hx0x0+h由Taylor展开因此，有误差f(x)=exp(x)hf’(1.15)R(x)hf’(1.15)R(x)0.103.1630-0.00480.053.1590-0.00080.093.1622-0.004

2、00.043.1588-0.00060.083.1613-0.00310.033.1583-0.00010.073.1607-0.00250.023.1575-0.00070.063.1600-0.00180.013.1550-0.0032例：由误差表达式，h越小，误差越小，但同时舍入误差增大，所以，有个最佳步长我们可以用事后误差估计的方法来确定设D(h),D(h/2)分别为步长为h,h/2的差商公式。则时的步长h/2就是合适的步长插值是建立逼近函数的手段，用以研究原函数的性质。因此，可以用插值函数的导数近似为原函数的导数误差插值型数值微分用Taylor

3、展开分析给定点列且，求解：例：Taylor展开分析，可以知道，它们都是称为三点公式数值积分关于积分，有Newton-Leibniz公式但是，在很多情况下，还是要数值积分：1、函数由离散数据组成2、原函数F(x)求不出3、F(x)非常复杂定义数值积分如下：是离散点上的函数值的线性组合称为积分系数，与f(x)无关，与积分区间和积分点有关为数值积分，为积分，则称数值积分有k阶代数精度是指：两个问题：1、系数ai如何选取，即选取原则？2、若节点可以自由选取，取什么点好？代数精度对任意次数不高于k次的多项式f(x)，数值积分没有误差用插值函数的积分，作为数值积分代

4、数精度由Lagrange插值的误差表达式，，有可以看出，至少n阶代数精度插值型Vandermonde行列式使用尽可能高的代数精度已知求系数所以，要存在唯一，m＝n，确定一个n＋1阶的方程组前面得到的系数是最好的吗？所以，m=n时存在唯一，且至少n阶代数精度。与节点的选取无关。若数值积分至少n阶代数精度，则系数唯一误差一点数值积分0阶代数精度1阶代数精度例：Newton-Cote’s积分若节点可以自由选取，则，一个自然的办法就是取等距节点。对区间做等距分割。该数值积分称为Newton-Cote’s积分设节点步长(b-a)与步长h无关，可以预先求出n＝1时梯

5、形公式n＝2时Simpson公式1、梯形公式此处用了积分中值定理误差2、Simpson公式注意到，Simpson公式有3阶代数精度，因此为了对误差有更精确地估计，我们用3次多项式估计误差为0一般的有因此，N-C积分，对偶数有n+1阶代数精度，而奇数为n阶代数精度复化积分数值积分公式与多项式插值有很大的关系。因此Runge现象的存在，使得我们不能用太多的积分点计算。采用与插值时候类似，我们采用分段、低阶的方法误差做等距节点，复化梯形公式由均值定理知可以看出，复化梯形公式是收敛的。如果节点不等距，还可以做复化积分吗？怎么处理？误差做等距节点，复化Simpso

6、n公式由均值定理知可以看出，复化Simpson公式是收敛的。定义若一个积分公式的误差满足且C0，则称该公式是p阶收敛的。~~~例：计算解：其中=3.138988494其中=3.141592502运算量基本相同函数变化有急有缓，为了照顾变化剧烈部分的误差，我们需要加密格点。对于变化缓慢的部分，加密格点会造成计算的浪费。以此我们介绍一种算法，可以自动在变化剧烈的地方加密格点计算，而变化缓慢的地方，则取稀疏的格点。积分的自适应计算①先看看事后误差估计以复化梯形公式为例n等分区间2n等分区间近似有：类似，复化Simpson公式②自适应计算记为复化一次，2次的S

7、impson公式控制求是由前面的事后误差估计式，则，这启发我们，可以用低阶的公式组合后成为一个高阶的公式。类似，Romberg积分记为以步长为h的某数值积分公式，有有如下的Euler-Maclaurin定理若为2m阶公式，则Romberg积分就是不断地用如上定理组合低阶公式为高阶公式，进而计算积分Romberg算法：<?<?<?………………T1=)0(0TT8=)3(0TT4=)2(0TT2=)1(0TS1=)0(1TR1=)0(3TS2=)1(1TC1=)0(2TC2=)1(2TS4=)2(1TRomberg公式是对近似值进

8、行修正而得到更近似的公式，它已不是前面所讲的插值求积的思想了，这是一种新的方法，