[理学]数理统计 第五章

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1、第五章点估计第一节矩估计法第二节极大似然估计法第三节估计量评选标准实例制衣厂为了合理的确定服装各种尺码的生产比例，需要调查人们身长的分布。现从男性成人人群中随机选取100人,得到他们的身长数据为:….(1)试推断男性成人身长X的平均值(2)若已知X服从正态分布N(,2),试估计参数的,2值已知“总体”的分布类型,对分布中的未知参数进行统计推断.第一节矩估计法一、点估计问题总体参数,指总体分布F(x;)的数学表达式中所含的参数。例如,正态分布N(,2)的参数为,2;泊松分布P()的参数为等等。设总体X

2、的分布函数形式已知,但它的一个或多个参数为未知,借助于总体X的一个样本来估计总体未知参数的值的问题称为点估计问题.点估计问题的一般提法二参数的点估计定义1.1矩有原点矩与中心矩:原点矩:指随机变量k次幂的数学期望1阶原点矩2阶原点矩称为总体X的k阶原点矩;称为样本的k阶原点矩.设X是总体,是X的一个样本.中心矩:2阶中心矩.是指随机变量离差的k次幂的数学期望设X是总体,是X的一个样本.称为总体X的k阶中心矩;称为样本的k阶中心矩;二矩估计法定义1.2由上面的方程组解出r个值即令分别取作为i的估计量,这种求估计量的方法称之

3、为矩估计法,由此得到的估计量称为矩估计量。若有一样本值x1,x2,…,xn，则称为矩估计值。矩估计法：其基本思想是替换原理,用样本k阶矩作为总体k阶矩的估计量,建立含有待估参数的方程或方程组,从而解出待估参数。其特点是不需要假定总体分布有明确的分布类型。矩估计法的具体步骤:矩估计量的观察值称为矩估计值.解根据矩估计法,例2.1解例2.2解方程组得到a,b的矩估计量分别为解解方程组得到矩估计量分别为例2.3上例表明:总体均值与方差的矩估计量的表达式不因不同的总体分布而异.一般地,注.1定义中选用的是原点矩，也可以用中心矩，只

4、要给定总体矩，采用相应的样本矩就可以。23矩估计的关键是计算总体矩，因此使用矩估计法其前提是总体矩必须存在。例2.4设X1,X2,…,Xn是来自总体X的样本，当X的分布为(1)正态分布N(,2)(2)指数分布E()(3)均匀分布U(a,b)(4)二项分布B(n,p)(5)泊松分布P()试求其中未知参数的矩估计。注:由此例可知,矩估计量不唯一。(4)X~B(n,p),E(X)=np,D(X)=np(1–p)(5)X~P(),E(X)=D(X)=例2.5设总体X的概率密度为X1,X2,…,Xn是来自总体X的样本。0

5、.1,0.2,0.9,0.8,0.7,0.7为一个样本观察值，试求的矩估计值。例2.6设总体X的概率密度为法1法2对同一参数，其矩估计量不唯一。第二节极大似然估计1极大似然估计概念定义1.3注1:似然函数实际上是样本的密度函数或概率分布:令:离散.连续.称为似然函数.求取最大值时的作为的估计值的方法,即为最大似然估计法.2求最大似然估计量的步骤:最大似然估计法也适用于分布中含有多个未知参数的情况.此时只需令对数似然方程组对数似然方程解似然函数例2.6这一估计量与矩估计量是相同的.解例2.7这一估计量与矩估计量是相同的.解

6、X的似然函数为例2.8它们与相应的矩估计量相同.例2.9设总体X的概率密度为0.1,0.2,0.9,0.8,0.7,0.7为一个样本观察值,试求的极大似然估计。解例2.10解：似然函数为例2.11设X1,X2,…Xn是取自总体X的一个样本其中>0,求的极大似然估计.i=1,2,…,n对数似然函数为i=1,2,…,n>0(2)=0(1)对分别求偏导并令其为0,用求导方法无法最终确定用极大似然原则来求.是对故使达到最大的即的MLE，于是取其它值时，且是的增函数由于极大似然估计的不变性设是的极大似然估计值,u()()

7、是的函数,且有单值反函数=(u),uU则是u()的极大似然估计值.7-35如在正态总体N(,2)中,2的极大似然估计值为是2的单值函数,且具有单值反函数，故的极大似然估计值为lg的极大似然估计值为7-36三、小结两种求点估计的方法:矩估计法最大似然估计法在统计问题中往往先使用最大似然估计法,在最大似然估计法使用不方便时,再用矩估计法.第三节估计量的评选标准一、问题的提出二、无偏性三、有效性四、相合性五、小结一、问题的提出从前一节可以看到,对于同一个参数,用不同的估计方法求出的估计量可能不相同,而且,很

8、明显,原则上任何统计量都可以作为未知参数的估计量.问题(1)对于同一个参数究竟采用哪一个估计量好?(2)评价估计量的标准是什么?下面介绍几个常用标准.评价一个点估计的好坏一般可以用：点估计值与参数真值的距离平方的期望，这就是下式给出的均方误差均方误差是评价点估计的最一般的标准。我们希望估计的均方误差越