[工学]02离散时间信号与离散时间系统

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第2章离散时间信号与离散时间系统2.1离散时间信号2.2离散时间系统2.3离散时间信号和系统的频域描述2.4连续信号的抽样2.5离散时间信号的抽样2.6序列的抽取与插值1 2.1离散时间信号2.1.1几种常用序列2.1.2序列的周期性2.1.3用单位脉冲序列来表示任意序列2.1.4序列的运算2.1.5序列的能量2 2.1离散时间信号离散时间信号(序列)离散时间信号只在离散时间上给出函数值，是时间上不连续的序列。离散时间信号在数学上可用时间序列n来表示，n的取值范围为整数，n取其他值没有意义。离散时间信号可以是由模拟信号通过采样得到，例如对模拟信号进行等间隔采样，在数值上与模拟信号的关系为3 2.1离散时间信号离散时间信号的时域表示离散时间信号可以用公式表示离散时间信号还可以用集合符号{.}表示4 2.1离散时间信号离散时间信号也可以用图形表示x(n)x(3)x(1)x(4)x(-4)x(-3)x(-2)x(2)x(-1)x(0)-4-3-2-101234n5 2.1.1几种常用序列1.单位脉冲序列（单位抽样）(n)1-4-3-2-101234n6 2.1.1几种常用序列2.单位阶跃序列和的关系为-3-2-1012345nu(n)17 2.1.1几种常用序列3.矩形序列和、的关系为：0123N-1nRN(n)18 2.1.1几种常用序列4.实指数序列式中，a为实数。当|a|<1时，序列是收敛的；而当|a|>1时，序列是发散的。a为负数时，序列是摆动的。a201234nanu(n)a4a3a19 2.1.1几种常用序列5.复指数序列或它具有实部和虚部，0是复正弦的数字域频率。如果用极坐标表示，则因此10 2.1.1几种常用序列6.正弦型序列式中：A为幅度，0为数字域的频率，它反映了序列变化的速率，为起始相位。11 2.1.1几种常用序列7.用MATLAB产生离散信号的函数MATLAB中许多函数都可用来产生离散信号，例如三角函数、指数函数、rand函数等，关于这些函数的用法可参见MATLAB中的help。这里主要介绍信号处理中的专用函数。(1)单位脉冲函数单位脉冲序列的产生函数如下：12 2.1.1几种常用序列function[x,n]=impseq(n0,n1,n2)%产生x(n)=delta(n-n0);n1<=n,n0<=n2%[x,n]=impseq(n0,n1,n2)if((n0n2)|(n1>n2))error('参数必须满足n1<=n0<=n2')endn=[n1:n2];%x=[zeros(1,(n0-n1)),1,zeros(1,(n2-n0))];x=[(n-n0)==0];13 2.1.1几种常用序列(2)单位阶跃函数单位阶跃序列的产生函数如下：function[x,n]=stepseq(n0,n1,n2)%产生x(n)=u(n-n0);n1<=n,n0<=n2%[x,n]=stepseq(n0,n1,n2)if((n0n2)|(n1>n2))error('参数必须满足n1<=n0<=n2')endn=[n1:n2];%x=[zeros(1,(n0-n1)),ones(1,(n2-n0+1))];x=[(n-n0)>=0];14 2.1.1几种常用序列例2.1用MATLAB产生各种离散序列。解MATLAB程序如下：n=[-5:5];x1=impseq(0,-5,5);subplot(2,2,1);stem(n,x1);title('单位脉冲序列')xlabel('n');ylabel('x(n)');n=[0:10];x2=stepseq(0,0,10);subplot(2,2,2);stem(n,x2);title('单位阶跃序列');xlabel('n');ylabel('x(n)');15 2.1.1几种常用序列n=[0:10];x3=stepseq(0,0,10)-stepseq(5,0,10);subplot(2,2,3);stem(n,x3);title('矩形序列');xlabel('n');ylabel('x(n)');n=[0:20];x4=sin(0.3*n);subplot(2,2,4);stem(n,x4);title('正弦序列');xlabel('n');ylabel('x(n)');16 2.1.1几种常用序列17 2.1.1几种常用序列例2.2用MATLAB产生复指数序列。解MATLAB程序如下：n=[0:1:20];alpha=-0.1+0.5j;x=exp(alpha*n);subplot(2,2,1);stem(n,real(x));title('实部');xlabel('n')18 2.1.1几种常用序列subplot(2,2,3);stem(n,imag(x));title('虚部');xlabel('n')subplot(2,2,2);stem(n,abs(x));title('振幅');xlabel('n')subplot(2,2,4);stem(n,(180/pi)*angle(x));title('相位');xlabel('n')19 2.1.1几种常用序列20 2.1.2序列的周期性如果对所有n存在一个最小的正整数N，使下面等式成立：则称序列x(n)为周期性序列，周期为N。下面讨论正弦序列的周期性。设则若为整数时，则根据周期序列的定义可知，这时正弦序列为周期序列，其周期满足（N、k必须为整数）。21 2.1.2序列的周期性（1）当为整数时，k=1，正弦序列是以为周期的周期序列。例如，，这里，所以它是一个周期序列，最小周期为N=10，10nx(n)=sin(0n)22 2.1.2序列的周期性（2）当为有理数时，设其中，k，N为互素的整数，则为最小正整数，此时正弦序列为周期序列，其周期将大于。（3）当是无理数时，则任何整数k都不能使N为正整数，这时正弦序列不是周期序列。23 2.1.3用单位脉冲序列来表示任意序列任意序列都可以表示成单位脉冲序列的移位加权和，即例如可表示成24 2.1.4序列的运算序列的运算包括移位、反褶、和、积、标乘、累加、差分运算等。1.移位移位序列y(n)为当m为正时，x(n-m)则是指序列逐项依次延时（右移）m位而给出的一个新序列，当m为负时，x(n-m)是指依次超前（左移）m位。25 2.1.4序列的运算2.反褶序列的反褶是将序列以n=0的纵轴为对称轴进行对褶。26 2.1.4序列的运算3.和两序列的和是指同序号n的序列值逐项对应相加而构成的一个新序列。和序列y(n)可表示为27 2.1.4序列的运算4.积两序列相乘是指同序号n的序列值逐项对应相乘。乘积序列y(n)可表示为28 2.1.4序列的运算5.标乘序列x(n)的标乘是指x(n)的每个序列值乘以常数a。标乘序列y(n)可表示为29 2.1.4序列的运算6.累加设某序列为x(n)，则x(n)的累加序列y(n)定义为它表示y(n)在某一个n0上的值y(n0)等于在这一个n0上的值x(n0)与以前所有n上的值x(n)之和。30 2.1.4序列的运算7.差分运算前向差分后向差分比较以上两式，显然有31 2.1.4序列的运算8.用MATLAB实现序列的运算(1)两个序列相加减function[y,n]=sigadd(x1,n1,x2,n2)%实现y(n)=x1(n)+x2(n)%[y,n]=sigadd(x1,n1,x2,n2)%y=在包含n1和n2的n点上求序列和%x1=在n1上的第一序列%x2=在n2上的第二序列(n2可与n1不等)32 2.1.4序列的运算n=min(min(n1),min(n2)):max(max(n1),max(n2));%y(n)的长度y1=zeros(1,length(n));y2=y1;%初始化y1(find((n>=min(n1))&(n<=max(n1))==1))=x1;%具有y的长度的x1y2(find((n>=min(n2))&(n<=max(n2))==1))=x2;%具有y的长度的x2y=y1+y2;%序列相加.33 2.1.4序列的运算(2)两个序列相乘function[y,n]=sigmult(x1,n1,x2,n2)%实现y(n)=x1(n)*x2(n)%[y,n]=sigmult(x1,n1,x2,n2)%y=在n区间上的乘积序列,n包含n1和n2%x1=在n1上的第一序列%x2=在n2上的第二序列(n2可与n1不等)34 2.1.4序列的运算n=min(min(n1),min(n2)):max(max(n1),max(n2));%y(n)的长度y1=zeros(1,length(n));y2=y1;%初始化y1(find((n>=min(n1))&(n<=max(n1))==1))=x1;%具有y的长度的x1y2(find((n>=min(n2))&(n<=max(n2))==1))=x2;%具有y的长度的x2y=y1.*y2;%序列相乘35 2.1.4序列的运算(3)序列移位运算function[y,n]=sigshift(x,m,n0)%实现y(n)=x(n-n0)%[y,n]=sigshift(x,m,n0)n=m+n0;y=x;36 2.1.4序列的运算(4)序列折叠运算function[y,n]=sigfold(x,n)%实现y(n)=x(-n)%[y,n]=sigfold(x,n)y=fliplr(x);n=-fliplr(n);37 2.1.4序列的运算例2.3用MATLAB实现两序列相乘和相加。解MATLAB程序如下：clc;clear;x1=[0,1,2,3,4,3,2,1,0];n1=-2:6;x2=[2,2,0,0,0,-2,-2];n2=2:8;[y1,n]=sigmult(x1,n1,x2,n2);[y2,n]=sigadd(x1,n1,x2,n2);subplot(2,2,1);stem(n1,x1);title('序列x1')xlabel('n');ylabel('x1(n)');38 2.1.4序列的运算subplot(2,2,2);stem(n2,x2);title('序列x2')xlabel('n');ylabel('x2(n)');subplot(2,2,3);stem(n,y1);title('两序列相乘')xlabel('n');ylabel('y1(n)');subplot(2,2,4);stem(n,y2);title('两序列相加')xlabel('n');ylabel('y2(n)');39 2.1.4序列的运算40 2.1.4序列的运算例2.4用MATLAB实现序列的移位和折叠。解MATLAB程序如下：x1=[0,1,2,3,4,3,2,1,0];n1=-2:6;[y1,n2]=sigshift(x1,n1,2);[y2,n3]=sigfold(x1,n1);subplot(3,1,1);stem(n1,x1);title('序列x1')xlabel('n');ylabel('x1(n)');subplot(3,1,2);stem(n2,y1);title('序列移位')xlabel('n');ylabel('y1(n)');subplot(3,1,3);stem(n3,y2);title('序列折叠')xlabel('n');ylabel('y2(n)');41 2.1.4序列的运算42 2.1.5序列的能量序列x(n)的能量E定义为序列各抽样值的平方和，即43 2.2离散时间系统一个离散时间系统是将输入序列变换成输出序列的一种运算。若以函数来表示这种运算，则一个离散时间系统可由下图来表示：输出与输入之间关系用下式表示离散时间系统中最重要、最常用的是线性时不变系统。T[]44 2.2离散时间系统2.2.1线性时不变系统2.2.2单位脉冲响应与卷积2.2.3系统的因果性和稳定性2.2.4线性常系数差分方程45 2.2.1线性时不变系统1.线性性质线性性质表现为系统满足线性叠加原理，即若某一输入是由N个信号的加权和组成，则输出就是系统对这N个信号中每一个的响应的同样加权和组成。设x1(n)和x2(n)分别作为系统的输入序列，其输出分别用y1(n)和y2(n)表示，即若满足，则该系统服从线性叠加原理，或者称该系统为线性系统。46 2.2.1线性时不变系统例2.5证明所表示的系统不是线性系统。证明因为显然故此系统不是线性系统。47 2.2.1线性时不变系统2.时不变特性若系统的变换关系不随时间变化，或者说系统的输出随输入的移位而相应移位但形状不变，则称该系统为时不变系统（或称为移不变系统）。对时不变系统，若则48 2.2.1线性时不变系统例2.6证明所表示的系统不是时不变系统。证明因为及所以故此系统不是时不变系统。同时具有线性和时不变性的离散时间系统称为线性时不变（LinearTimeInvariantLTI）离散时间系统，简称LTI系统。49 2.2.2单位脉冲响应与卷积设系统输入x(n)=(n)，系统输出的初始状态为零，这时系统输出用h(n)表示，即h(n)=T[(n)]则称h(n)为系统的单位脉冲响应。也就是说单位脉冲响应h(n)是系统对(n)的零状态响应，它表征了系统的时域特征。对任意输入信号x(n)，系统输出为50 2.2.2单位脉冲响应与卷积1.卷积的性质(1)交换律由于卷积与两卷积序列的次序无关，故这说明，对于线性时不变系统，输入和单位脉冲响应两者互换位置后，输出保持不变，如图所示。y(n)x(n)h(n)y(n)h(n)x(n)=51 2.2.2单位脉冲响应与卷积(2)结合律可以证明卷积运算服从结合律，即这说明，两个线性时不变系统级联后仍构成一个线性时不变系统，其单位脉冲响应为原来两个系统的单位脉冲响应的卷积，且与级联次序无关。52 2.2.2单位脉冲响应与卷积(3)分配律卷积满足以下关系：这说明，并联的两个线性时不变系统可以等效成一个系统，其单位脉冲响应等于原来两个系统单位脉冲响应之和。53 2.2.2单位脉冲响应与卷积2.卷积的计算卷积可直接按卷积公式来计算，包括以下4个步骤。(1)反褶：先将x(n)和h(n)的变量n换成m，变成x(m)和h(m)，再将h(m)以纵轴为对称轴反褶成h(-m)。(2)移位：将h(-m)移位n，得h(n-m)。当n为正数时，右移n位；当n为负数时，左移n位。(3)相乘：将h(n-m)和x(m)的对应点值相乘。(4)求和：将以上所有对应点的乘积累加起来，即得y(n)。计算线性卷积时，一般要分几个区间分别加以考虑。54 2.2.2单位脉冲响应与卷积例2.8已知x(n)和h(n)分别为试求x(n)和h(n)分段的线性卷积。解卷积的图解表示可见图。分段计算如下：55 2.2.2单位脉冲响应与卷积(1)当时n<1，h(n-m)和x(m)无交叠，相乘处处为零，故(2)当1n2时，h(n-m)和x(m)有交叠项，从m=1到m=n，故(3)当3n5时，h(n-m)和x(m)有交叠项，上限为3，下限为n-2，故(4)当n6时，h(n-m)和x(m)无交叠，相乘处处为零，故56 h(-1-m)1-3-2-1012mn=-1<0左移2.2.2单位脉冲响应与卷积x(m)10123m1012mh(m)h(0-m)1-2-1012mn=0反褶h(1-m)1-2-1012mn=1>0右移y(n)30123456n57 2.2.2单位脉冲响应与卷积3.用MATLAB实现序列的卷积用MATLAB实现序列卷积的函数如下：function[y,ny]=conv_m(x,nx,h,nh)%信号处理的改进卷积程序%[y,ny]=conv_m(x,nx,h,nh)%y=卷积结果%ny=y的基底(support)%x=基底nx上的第一个信号%nx=x的支架%h=基底nh上的第二个信号%nh=h的基底nyb=nx(1)+nh(1);nye=nx(length(x))+nh(length(h));ny=[nyb:nye];y=conv(x,h);58 2.2.2单位脉冲响应与卷积例2.9用MATLAB实现例2.8。解MATLAB程序如下：x=[00.511.50];nx=0:4;h=[11100];nh=0:4;[y,ny]=conv_m(x,nx,h,nh);subplot(2,2,1);stem(nx,x);title('序列x')xlabel('n');ylabel('x(n)');subplot(2,2,2);stem(nh,h);title('序列h')xlabel('n');ylabel('h(n)');subplot(2,2,3);stem(ny,y);title('两序列卷积')xlabel('n');ylabel('y(n)');59 2.2.2单位脉冲响应与卷积60 2.2.3系统的因果性和稳定性1.系统的因果性系统的因果性即系统的可实现性。如果系统n时刻的输出取决于n时刻及n时刻以前的输入，而和n时刻以后的输入无关，则该系统是可实现的，是因果系统。如果n时刻的输出还和n时刻以后的输入有关，在时间上违背了因果性，系统无法实现，该系统是非因果系统。除了利用因果性的概念判断系统是否是因果系统外，还可以用系统的单位脉冲响应判断。系统具有因果性的充要条件是61 2.2.3系统的因果性和稳定性2.系统的稳定性稳定系统是指有界输入产生有界输出（BIBO）的系统。如果对于输入序列x(n)，存在一个不变的正有限值M，对于所有n值满足则称该输入序列是有界的。稳定性要求对于每个有界输入存在一个不变的正有限值K，对于所有n值，输出序列满足系统稳定的充分必要条件是系统的单位脉冲响应绝对可和，用公式表示为62 2.2.3系统的因果性和稳定性例2.10若一个线性时不变系统的单位脉冲响应为讨论系统的因果性和稳定性。解(1)因果性因为在n<0时，h(n)=0，故此系统为因果系统。(2)稳定性所以|a|<1时此系统稳定，|a|1时此系统不稳定。63 2.2.4线性常系数差分方程对于模拟系统，我们知道由微分方程描述系统输出输入之间的关系。对于时域离散系统，则用差分方程描述或研究输出输入之间的关系。对于线性时不变系统，经常用的是线性常系数差分方程。线性常系数差分方程的一般形式为所谓常系数是指和是由系统结构决定的常数，不随时间的改变而改变。差分方程的阶数用方程中y(n-k)项中k的最大值与最小值之差确定。64 2.2.4线性常系数差分方程求解线性常系数差分方程有三种方法，即经典解法、递推方法和Z变换方法。经典解法类似于模拟系统中的微分方程的解法，比较复杂，在数字信号处理中很少使用，这里不做介绍。Z变换方法在后面章节中学习。本章仅介绍递推方法。差分方程在给定的输入和给定的初始条件下，可用递推迭代的办法求系统的响应。如果输入是单位脉冲序列(n)，输出响应就是单位脉冲响应h(n)。65 2.2.4线性常系数差分方程例2.11已知系统的差分方程试求其单位脉冲响应，初始条件为解设x(n)=(n)，输出y(n)就是h(n)上式可变为可得依次迭代求得66 2.2.4线性常系数差分方程故系统的单位脉冲响应为这样的系统相当于因果系统，如果|a|<1，则系统是稳定的。上例中，设x(n)=(n)，但初始条件改为y(n)=0(n>0)，向n<0的方向递推，其递推关系变为由初始条件有67 2.2.4线性常系数差分方程所以一般形式为这样的系统是非因果系统，如果|a|>1，则系统是稳定的。68 2.2.4线性常系数差分方程MATLAB信号处理工具箱中提供的filter函数，可以实现线性常系数差分方程的递推解法，调用格式如下：y=filter(b,a,x,xi);其中x是输入信号向量，b和a是系统差分方程的系数矩阵，即b=[b0,b1,…,bM]和a=[a0,a1,…,aN]，a0=1。xi是和初始条件有关的向量，用函数xi=filtic(b,a,ys,xs)得到，其中ys和xs是初始条件向量，即ys=[y(-1),y(-2),...]，xs=[x(-1),x(-2),...]。如果是因果序列，则xs=0。用函数filter(b,a,x,xi)计算输出y，如果和输入信号和系统的初始状态有关，称为系统的零输入响应。如果系统的输入条件为零，就默认xi=0，调用格式为y=filter(b,a,xi)。69 2.2.4线性常系数差分方程例2.12用MATLAB计算差分方程当输入序列为x(n)=(n)时的输出结果y(n),0n30。70 2.2.4线性常系数差分方程解MATLAB程序如下：N=31;b=[0.8-0.440.360.22];a=[10.7-0.45-0.6];x=[1zeros(1,N-1)];k=0:1:N-1;y=filter(b,a,x);stem(k,y)xlabel('n');ylabel('输出y(n)')71 2.2.4线性常系数差分方程72 2.2.4线性常系数差分方程例2.13用MATLAB计算差分方程当输入为x(n)=(n)，初始条件y(-1)=1，求输出结果y(n),0n30。73 2.2.4线性常系数差分方程解MATLAB程序如下：N=31;a=[1-0.8];ys=1;b=1;x=[1zeros(1,N-1)];xi=filtic(b,a,ys);k=0:1:N-1;y=filter(b,a,x,xi);stem(k,y)xlabel('n');ylabel('输出y(n)')74 2.2.4线性常系数差分方程75 2.3离散时间信号和系统的频域描述2.3.1离散时间信号的傅立叶变换2.3.2离散时间信号的傅立叶变换性质2.3.3序列傅立叶变换的对称性2.3.4离散时间系统的频率响应76 2.3.1离散时间信号的傅立叶变换离散时间信号x(n)的傅立叶变换定义为X(ej)的傅立叶反变换为在物理意义上，X(ej)表示序列的频谱，为数字域频率。X(ej)一般为的复变函数，可表示为77 2.3.1离散时间信号的傅立叶变换其中，XR(ej)，XI(ej)分别为X(ej)的实部和虚部，通常称|X(ej)|为幅频特性或幅度谱，而()=argX(ej)称为相频特性或相位谱，并且有78 2.3.1离散时间信号的傅立叶变换例2.14求矩形序列的傅立叶变换解其幅度谱和相位谱分别为79 2.3.1离散时间信号的傅立叶变换0222/N|X(ej)|N0(N=5)80 2.3.1离散时间信号的傅立叶变换离散时间信号的傅立叶变换具有以下两个特性：(1)X(ej)是的周期函数，周期为2。由于e-jn=e–j(+2)n，故有(2)当x(n)为实序列时，X(ej)的幅值|X(ej)|在区间02内是偶对称函数，相位argX(ej)是奇对称函数。81 2.3.1离散时间信号的傅立叶变换利用MATLAB可以实现离散时间信号的傅立叶变换，并绘出幅频特性和相频特性曲线，其MATLAB函数如下function[X,magX,angX]=FourierTran(x,n,dot)%计算离散序列的付立叶变换%[X,magX,angX]=FourierTran(x,n)%或[X,magX,angX]=FourierTran(x,n,dot)ifnargin<3dot=600;endk=-dot:dot;w=(pi/dot)*k;82 2.3.1离散时间信号的傅立叶变换X=x*(exp(-j).^(n'*w));magX=abs(X);argX=angle(X);subplot(211);plot(w/pi,magX);xlabel('频率(单位{pi})');ylabel('|X(e^{jomega})|');title('幅频特性');subplot(212);plot(w/pi,argX/pi);xlabel('频率(单位{pi})');ylabel('弧度/{pi}');title('相频特性');83 2.3.1离散时间信号的傅立叶变换例2.15用MATLAB实现例2.14序列的傅立叶变换解MATLAB程序如下x=[1,1,1,1,1];n=0:4;FourierTran(x,n);84 2.3.1离散时间信号的傅立叶变换85 2.3.2离散时间信号的傅立叶变换性质1.序列的傅立叶变换的线性如果序列x(n)和y(n)的傅立叶变换分别为X(ej)和y(ej)，即则对任何常数a和b有86 2.3.2离散时间信号的傅立叶变换性质2.序列的移位如果则即时间的移位，导致频域相移。87 2.3.2离散时间信号的傅立叶变换性质3.频域的相移如果则即频域的相移相当于对序列进行了调制。88 2.3.2离散时间信号的傅立叶变换性质4.序列的反褶如果则89 2.3.2离散时间信号的傅立叶变换性质5.序列乘以n如果则90 2.3.2离散时间信号的傅立叶变换性质6.序列的共轭如果则91 2.3.2离散时间信号的傅立叶变换性质7.序列的卷积如果则92 2.3.2离散时间信号的傅立叶变换性质8.序列相乘（频域卷积）如果则93 2.3.3序列傅立叶变换的对称性若序列xe(n)满足则称序列xe(n)为共轭对称序列。对于实序列来说，这一条件就变成xe(n)=xe(-n)，即xe(n)为偶对称序列。若序列xo(n)满足则称序列xo(n)为共轭反对称序列。对于实序列来说，这一条件就变成xo(n)=-xo(-n)，即xo(n)为奇对称序列。94 2.3.3序列傅立叶变换的对称性任一序列均可表示成一个共轭对称序列和一个共轭反对称序列之和，即其中序列的傅立叶变换也可分解成共轭对称分量与共轭反对称分量之和，即其中95 2.3.3序列傅立叶变换的对称性分别是共轭对称的与共轭反对称的，即与序列情况一样，若傅立叶变换X(ej)是实函数，且满足共轭对称，则它是频率的偶函数，即X(ej)=X(e-j)。若X(ej)是实函数，且满足共轭反对称，则它是频率的奇函数，即X(ej)=-X(e-j)。96 2.3.3序列傅立叶变换的对称性设序列x(n)的傅立叶变换为X(ej)，根据前面介绍的性质得，x*(n)的傅立叶变换为X*(e-j)，x*(-n)的傅立叶变换为X*(ej)。由此可得到的实部和虚部的傅立叶变换分别为这表明序列x(n)实部的傅立叶变换XR(ej)具有共轭对称性质，而其虚部（包括j在内）的傅立叶变换Xo(ej)具有共轭反对称性质。97 2.3.3序列傅立叶变换的对称性序列x(n)的共轭对称分量和共轭反对称分量的傅立叶变换为这表明序列x(n)共轭对称部分的傅立叶变换对应于的X(ej)实部，而共轭反对称部分的傅立叶变换对应于的X(ej)虚部（包括j在内）。如果x(n)是实序列，则这些性质将变得特别地简单和有用。这时序列的傅立叶变换是共轭对称的，即所以，实序列的傅立叶变换的实部是的偶函数，而虚部是的奇函数。98 2.3.3序列傅立叶变换的对称性利用MATLAB可以将实信号分解为偶和奇两部分，其函数如下function[xe,xo,m]=evenodd(x,n)%实信号分解为偶和奇两部分%[xe,xo,m]=evenodd(x,n)ifany(imag(x)~=0)error('x不是实序列')end99 2.3.3序列傅立叶变换的对称性m=-fliplr(n);m1=min([m,n]);m2=max([m,n]);m=m1:m2;nm=n(1)-m(1);n1=1:length(n);x1=zeros(1,length(m));x1(n1+nm)=x;x=x1;xe=0.5*(x+fliplr(x));xo=0.5*(x-fliplr(x));100 2.3.3序列傅立叶变换的对称性例2.16用MATLAB将实信号分解为偶和奇两部分解MATLAB程序如下n=[0:10];x=stepseq(0,0,10)-stepseq(10,0,10);[xe,xo,m]=evenodd(x,n);subplot(2,2,1);stem(n,x);title('矩形脉冲')xlabel('n');ylabel('x(n)');subplot(2,2,2);stem(m,xe);title('偶部')xlabel('n');ylabel('xe(n)');subplot(2,2,4);stem(m,xo);title('奇部')xlabel('n');ylabel('xo(n)');101 2.3.3序列傅立叶变换的对称性102 2.3.4离散时间系统的频率响应设输入序列是频率为的复指数序列，即线性时不变系统的单位脉冲响应为h(n)，利用卷积公式，得到输出为其中称为系统的频率响应。分别称为系统的幅度响应和相位响应。103 2.3.4离散时间系统的频率响应有了系统频率响应的概念，现在，对线性时不变系统，可以建立任意输入情况下，输入和输出两者的傅立叶变换间的关系。对卷积公式y(n)=x(n)h(n)两端取傅立叶变换，并利用傅立叶变换的性质得到对于线性时不变系统，其输出序列的傅立叶变换等于输入序列的傅立叶变换与系统频率响应的乘积。104 2.3.4离散时间系统的频率响应例2.17求具有下列单位脉冲响应的系统频率响应。解幅度响应相位响应105 2.3.4离散时间系统的频率响应|H(ej)|3/2/21/(1+a)1/(1-a)20arg[H(ej)20106 2.4连续信号的抽样离散时间信号通常是由连续时间信号经周期抽样得到的。抽样就是利用周期性抽样脉冲序列p(t)，从连续信号xa(t)中抽取一系列的离散值，得到抽样信号即离散时间信号，以表示xa(t)。抽样是模拟信号数字化处理的第一环节。xa(t)再经幅度量化编码后即得到数字信号。完成抽样功能的器件称为抽样器，抽样器可以看成是一个电子开关。开关每隔T秒闭合一次，便得到一个输出抽样值。在理想情况下，开关闭合时间无穷短。对实际抽样，闭合时间是秒，但<