[工学]4-留数定理

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1、第四章留数定理已讲：一个解析函数在它的解析区域内各处的函数值有很强的内在联系。这突出表现在柯西积分公式及其推论。本章：讨论这种关系的另一种表现形式解析函数的积分值与函数奇点的关系。12§4.1留数定理由柯西定理，若f(z)在l内解析，，若f(z)在l内有奇点，复习：如果f(z)是复闭通区域上的解析函数，则重要例题结论：§4.1留数定理（一）留数定理设函数f(z)在回路l所围区域B上除有限个孤立奇点b1,b2,…,bn外解析，在闭区域上除b1,b2,…,bn外连续，则3其中Resf(bj)表示函数f(z)在点bj邻域洛朗展开式中负一次幂项系数，称为函数f(z)在

2、孤立奇点bj处的留数(residue)。41、l内有一个孤立奇点z=z0洛朗展式中项的系数a-1,称作f(z)在孤立奇点z0的留数。记作Resf(z0)。所以52、l内有n个孤立奇点b1,b2,…,bn留数定理将回路积分归结为被积函数在回路所围区域上各奇点的留数之和．3、无限远点的留数计算绕无穷远的正向积分6将f(z)在无穷远邻域展开即使无限远点不是奇点，Resf(∞)也可能不为零。4、留数和定理若函数f(z)在复平面上除有限个孤立奇点外解析，则函数f(z)在各奇点（包括无限远点）上的留数和为零。7证明：＋8（二）留数的计算1、按定义将函数f(z)在奇点z0的邻

3、域中展成洛朗级数：Resf(z0)=a-1对z=∞点要反号：Resf(∞)=-a-1例如：函数在奇点z=0的留数（p46）。2、可去奇点的留数函数在可去奇点z0邻域中的洛朗级数不含负幂项，故Resf(z0)=093、单极点留数的计算设z0是f(z)的一阶极点因此特殊情形，P(z)和Q(z)都在z0点解析，z0是Q(z)的一阶零点，P(z0)≠0，从而z0是f(z)的一阶极点，则104、m(m2)阶极点留数的计算设z0是f(z)的m阶极点两边乘,得到：为了求a-1,对上式求m-1阶导数：11因此：例1：求在z0=1处的留数.解：另解z0=1是单极点12例2：求的

4、极点，以及在极点上的留数。解：极点为nπ，无穷多个单极点例3：求的极点，以及在极点上的留数解：单极点2i,三阶极点013z=2iz=0例4：计算沿单位圆

5、z

6、=1的回路积分。14解：寻找被积函数在单位圆内的极点，即它的分母在单位圆内的零点。在单位圆外。15第55页1(4).确定函数的奇点，求出函数在各奇点的留数。解：①单极点z=ia,②单极点z=-ia,③本性奇点z=∞，16例：求f(z)=z/(z-1)的Resf(∞)解：将f(z)以z=∞为展开中心，在展开所以，Resf(∞)=-a-1=-1另：f(z)=z/(z-1)，在有限远的仅有单极点z=1，而Resf

7、(1)=1Resf(∞)+Resf(1)=0所以，Resf(∞)=-1本节作业：第55页第1题（2，5）；第2题（2，3）。17§4.2应用留数定理计算实变函数定积分实变函数积分复变函数的回路积分基本思想:将在区间l1=[a,b]的实变函数积分与复平面上的回路积分联系起来可以看做复变函数线积分的特例,即是复变函数在实轴上的线积分。因此，可把上述实数积分与复变函数积分联系起来。18方法一、通过变量变换，把区间l1=[a,b]映射成复平面的回路，把实数积分变成复平面的回路积分。方法二、如果补充线段l2,可构成回路积分。实函数必须解析延拓到复平面上包含回路的一个区域

8、中，而实积分成为回路积分的一部分。l1xyl2L•a•b左边积分和右边第二个积分可以利用复变函数理论，很容易求出，这样可以完成实变函数定积分。19类型一：其中：（1）R(cosx,sinx)是sinx,cosx的有理式；（2）积分区间是[0,2]；(3)在区间[0,2]内，无奇点。变量变换20•0•2xxyoz平面•1积分区域变换：线段到单位圆。例1解21类型二：其中：(1)积分区间是(-,+);(2)复变函数f(z)在实轴上无奇点，在上半平面除有限个奇点（b1,b2…bn)外解析；(3)当z在上半平面及实轴上时，zf(z)一致地0；如果f(x)

9、是有理分式φ(x)/ψ(x),则ψ(x)在实轴无零点，ψ(x)的次数至少高于φ(x)二次。22积分主值概念：反常积分定义为当R1=R2时，称为I的积分主值一般，积分主值存在，不一定反常积分存在，反之，如果反常积分存在，积分主值一定存在！本类型积分要计算的是积分主值。23计算积分主值将f(x)在复平面上延拓成f(z),则由留数定理：当R,左边的第一个积分即是要求的，第二个积分可证明当f(z)满足条件（3）时为零。-R•+RxyCR•bkoR24所以25例3计算单极点解：26类型三：（1）积分区间[0,+∞]，（2）偶函数F(z)和奇函数G(z)在实轴上无奇点，

10、在上半平面除有限个奇点（