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《椭圆的常见题型及解法二》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、椭圆的常见题型及解法（二）一对称问题平面解析几何常遇到含参数的对称问题，常困扰学生思维.其实平面解析几何所有的对称只有以下四类,分别为“点关于点对称”；“点关于直线对称”；“曲线关于点对称”；“曲线关于直线对称”.①点A关于B的对称点为C，点B为A、C的中点，由中点坐标公式有：；②设点A(x1,y1)关于直线：ax+by+c=0的对称点为C(x,y),由AC直线与垂直，且AB的中点在上，有：(当直线中a=0或b=0时，上面结论也正确)③曲线F(x,y)=0关于点B(a,b)对称的曲线，在曲线F(x,y)=0上任取一点A(x1,y1)，它关于点B(a,
2、b)的对称点为C(x,y).其实点A为主动点,点C为从动点,由中点坐标公式有:,代入到主动点的方程中,得对称曲线方程:.④曲线F(x,y)=0关于点ax+by+c=0对称的曲线,在曲线F(x,y)=0上任取一点A(x1,y1)，它关于直线ax+by+c=0的对称点为C(x,y),则有:,代入到主动点的方程中,得对称曲线方程:.圆锥曲线上存在两点关于某直线对称，求某参变量的取值范围.这一类问题求解时,必须同时确保:⑴垂直;⑵平分⑶存在,下面就实例说明三个确保的实施.例1.已知椭圆C:,试确定m的取值范围,使得对于直线:11在椭圆C上存在不同的两点关于直
3、线对称.解:椭圆上存在两点A,B关于直线对称,设直线AB为:(确保垂直).设直线AB与椭圆有两个不同的交点.(确保存在)即：AB两点的中点的横坐标为纵坐标为则点在直线上,.(确保平分)把上式代入(1)中,得：变式训练（2010年安徽理19）：已知椭圆E经过点A（2，3），对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率（I）求椭圆E的方程；（II）求的角平分线所在直线的方程；（III）在椭圆E上是否存在关于直线对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由.本题考查椭圆的定义及标准方程，椭圆的简单几何性质，直线的点斜式方程与一般方程，点到直线的距离
4、公式，点关于直线的对称等基础知识；考查解析几何的基本思想、综合运算能力、探究意识与创新意识.解：（I）设椭圆E的方程为11将A（2，3）代入上式，得∴椭圆E的方程为（II）解法1：由（I）知，所以直线AF1的方程为：直线AF2的方程为：由点A在椭圆E上的位置知，直线l的斜率为正数.设上任一点，则若（因其斜率为负，舍去）.所以直线l的方程为：解法2：（III）解法1：假设存在这样的两个不同的点由于M在l上，故①又B，C在椭圆上，所以有两式相减，得即11将该式写为，并将直线BC的斜率和线段BC的中点，表示代入该表达式中，得②①×2—②得，即BC的中点为点
5、A，而这是不可能的.∴不存在满足题设条件的点B和C.解法2：假设存在，则得一元二次方程则是该方程的两个根，由韦达定理得于是∴B，C的中点坐标为又线段BC的中点在直线即B，C的中点坐标为（2，3），与点A重合，矛盾.∴不存在满足题设条件的相异两点.二中点弦问题例1、过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分，求这条弦所在直线的方程。解：设直线与椭圆的交点为、为的中点 又、两点在椭圆上，则，11两式相减得于是即，故所求直线的方程为，即。例2、已知椭圆的一条弦的斜率为3，它与直线的交点恰为这条弦的中点，求点的坐标。解：设弦端点、，弦的中点，则，又，两式相减得即，
6、即点的坐标为。变式训练1、已知椭圆,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。解：设弦端点、，弦的中点，则，又，两式相减得即，即11，即由，得点在椭圆内它的斜率为3的弦中点的轨迹方程为变式训练2、已知中心在原点，一焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，求椭圆的方程。解：设椭圆的方程为，则┅┅①设弦端点、，弦的中点，则，，又，两式相减得即┅┅②联立①②解得，所求椭圆的方程是变式训练3.（13年新课标1（理））已知椭圆的右焦点为,过点的直线交椭圆于两点.若的中点坐标为,则的方程为（）（ ）11A．B．C．D．解析：设两点的坐标分别为，则有两式相减得又的中
7、点坐标为，所以，代入上式得，而直线的斜率为①由右焦点F（3,0）知：②由①②得曲线E的方程为故选D三弦长问题例1.（10辽宁理）设椭圆C：的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60o,.(I)求椭圆C的离心率；(II)如果
8、AB
9、=，求椭圆C的方程.解：设，由题意知＜0，＞0.（Ⅰ）直线l的方程为，其中.联立得解得因为，所以.11即得离心率.（Ⅱ）因为，所以.由得.所以，得a=3，.椭圆C的方程为.例2（10天津文）已知椭圆（a>b>0）的离心率e=，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直
10、线l与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为（-a，0）.（i）若，求直线l的倾斜角；（ii）若点Q在
