等价无穷小量在求极限中的应用

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1、数理学院JINGGANGSHANUNIVERSITY毕业论文（设计）等价无穷小量在求极限上的应用姓名齐长春单位地址　　井冈山大学　　　邮政编码343009专业数学与应用数学系　（院）　　　数理学院指导教师　李冬生2013年5月1日目录摘要–––––––––––––––––––––––––––––1引言–––––––––––––––––––––––––––––2一、无穷小量–––––––––––––––––––––––––31.1无穷小量的定义––––––––––––––––––––––31.2等价无穷小量的一些基本性质–––––––––––

2、–––––––31.3无穷小量阶的比较及等价无穷小量的定义––––––––––––––3二、等价无穷小量–––––––––––––––––––––––42.1等价无穷小量的重要性质––––––––––––––––––––42.2一些常用的等价无穷小量––––––––––––––––––––4三、极限问题的解法––––––––––––––––––––––53.1可以直接求极限的问题–––––––––––––––––––––53.2用两个重要极限求极限–––––––––––––––––––––53.3用洛必达法则求极限–––––––––––––

3、–––––––––63.4用等价无穷小量求极限–––––––––––––––––––––73.5等价无穷小代换的局限性––––––––––––––––––––83.6阶数的求法–––––––––––––––––––––––––93.7利用泰勒公式求函数极限––––––––––––––––––––9四、等价无穷小替换的优势–––––––––––––––––––11五、方法总结–––––––––––––––––––––––––12参考文献–––––––––––––––––––––––––––13英文摘要–––––––––––––––––––––

4、––––––14【摘要】无穷小量从提出到正式的定义经过了一番曲折，还引发了一次数学危机，等价无穷小量的提出，在微积分领域可以说具有划时代的意义，它为解决正项级数与极限等类型的问题带来了很大的方便，特别是在极限问题上。这里我们只重点讨论它在求极限方面的应用以及优势，等价无穷小代换是一种应用很广泛的求极限方法，但是要注意遵守无穷小量的替换法则，才能使得计算简化而又不出错，当然本文会具体去讨论应用中要注意的事项。正确使用等价无穷小量能解决洛必达法则所不能解决的问题。在求极限问题中，方法有很多，比如利用两个重要的极限求极限，利用洛必达法则还有等价无

5、穷小替换以及泰勒公式等方法求极限，这些方法都有它的优越性，但是我们总想要去寻求一种最简单便捷的方法得到结果，其中等价无穷小替换有着不可替代的地位，以及优越的简化计算的作用。【关键词】等价无穷小量；洛必达法则；两个重要的极限；泰勒公式；优越性。引言微积分还有一个名称，叫“无穷小分析”。其实微积分是由牛顿和莱布尼茨独自完成的，一开始他们就是从直观的无穷小量开始的。数学中的分析学早期就叫无穷小分析，无穷小量在当时是一个让人头疼的概念。按照牛顿的流数法来计算导数的方法如下：算法虽然很简单，可是确实有矛盾。我们知道，要使等式中式成立，则必需≠0，而要

6、式成立，则需。问题就成了讨论到底是不是0?如果是零0，怎么能用它做除数?如果不是，又怎么能把包含着的项去掉呢?这也是当时微积分的一个悖论——贝克莱悖论。就这样，在完善微积分基础理论问题的过程中，数学界出现了比较混乱的局面，并由此引发了第二次数学危机。直到柯西系统地发展了极限理论。他认为，如果硬要把这里的作为确定的量，即使是0，都不算准确，它会与极限的定义发生矛盾；应该是要它如何小就如何小的量，将这样一个量命名为无穷小量。所以，本质上它是以零为极限的变量。定义为变量，才解开了人们对无穷小量概念的模糊认识。第二次数学危机结束，贝克莱悖论得到解决

7、。改用极限的概念,那么求导数的过程就可以改写为：这样，就没有矛盾了。于是，无穷小量正式诞生了。一、无穷小量1.1无穷小量的定义设f在某空心邻域内有定义.若,则称ƒ为当时的无穷小量。1.2无穷小量的一些基本性质根据无穷小量的定义，可以类似地定义当，，，以及时的无穷小量与有界量。这里我们很容易判断,如函数,,,均为当时的无穷小量。在这里我总结了一些无穷小量的性质：（1)无穷小量是一个变量。在变化过程中以零为极限.如函数，当时的无穷小量,但当时不是无穷小量。(2)绝对值非常小的数并不就是无穷小量；无穷小量是无限趋近于0而又不等于0的量。（3）在一

8、次运算过程中，有限个无穷小量的和、差、积还是无穷小。【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小。例如，时是无穷小，但个之和为1，不是无穷小。（4）无穷小量与有界量的乘积为无穷小量