离散数学11群环

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1、-第十章群与环11.1设，问下面定义的二元运算关于集合是否封闭？是否是可结合的？（1）；（2）与的最小公倍数；（3）与的最大公约数；（4）。解（1）关于集合是封闭的；是可结合的。（2）关于集合不封闭。因为。显然也不可结合。（3）关于集合是封闭的；是可结合的。（4）关于集合不封闭。因为。显然也不可结合。11.2是自然数集。定义上的运算，，。问是否是上的可结合的二元运算。请证明或举反例说明你的结论。解不是可结合的二元运算。因为显然，。11.3，在上定义一个运算：，。试给出关于运算的乘法表，并证明是半群。解关于运算的

2、乘法表如下：*（1）封闭性对于，显然有，。.---（2）结合律因为对于，我们有，且，所以。综上所述，是半群。11.4是自然数集，在上定义一个二元运算：，。试问是否是半群，是否有左、右幺元和幺元。解（1）封闭性对于，显然有。（2）结合律不满足因为，但所以，。故不是半群。（3）1为右幺元因为，显然有，所以1为右幺元。（4）无左幺元，无幺元。11.5设是自然数集，在上定义运算：，。是否是半群?若是，证明之，若不是举例说明。证明（1）封闭性对于，显然有。（2）结合律因为，有，且。所以，。综上所述，是半群。11.6是自然

3、数集。在上定义运算：，。证明：是一个含幺半群。.---证明（1）封闭性对于，显然有。（2）结合律因为对于，我们有：且所以，。（3）幺元0为幺元。因为对于，有。综上所述，是一个含幺半群。11.7，是实数集。在上定义一个运算：，。（1）证明是一个含幺半群；（2）说出不是群的理由。（1）证明封闭性：对于，显然有。结合律：对于，我们有：显然有，。幺元：0为幺元。因为。综上所述，是一个含幺半群。（2）解因为对于，有，即1不存在右幺元，所以不存在幺元。因此，不是群。.---11.8是半群，是中的一个元素，使得对中的每一个，

4、中就存在满足下述条件的和，使。证明：中存在幺元。证明对于，存在，使得，于是对于，因为，使得，所以。即是左幺元。对于，存在，使得，于是对于，因为，使得，所以。即是右幺元。综上所述，中存在幺元。11.9设是一个半群。若，由，可得，称元素是左可约元。若均是左可约元，证明也是左可约元。证明对于，若，因为设是一个半群，所以*满足结合律，从而有。因为为左可约元，所以。又因为为左可约元，所以。因此，也是左可约元。11.10判断下列代数系统哪些是群？哪些是含幺半群？哪些是循环群？，，，，，，，，，其中，，，，。解是群，含幺半群

5、，非循环群。是群，含幺半群，非循环群。是群，含幺半群，循环群。是群，含幺半群，非循环群。是群，含幺半群，非循环群。含幺半群，不是群。.---是群，含幺半群，循环群。是群，含幺半群，循环群。含幺半群，不是群。含幺半群，不是群。11.11是有理数集。，在中定义运算，，定义：。证明：是一个群。证明（1）封闭性对于，显然有。（2）结合律对于，有（3）幺元为幺元。因为对于，有。（4）逆元对于，其逆元为。因为。综上所述，是一个群。11.12设是任意的一个非空集合，是一个加群。令。对规定的运算：，，即。证明也是一个加群(加群

6、即可换群)。证明（1）封闭性对于且，因为和为单射，所以存在唯一的，又因为是一个加群，所以存在唯一的。因此，。（2）结合律对于且，我们有：.---因为是一个加群，所以，从而有，，由函数相等的定义知，。（3）幺元为幺元，其中，且，，为的幺元。因为对于且，我们有，根据函数相等的定义知，；同理可证，。（4）逆元对于且，有。因为是一个加群，所以。从而且对于，有为的逆元。因为对于，我们有，由函数相等的定义知，；同理可证，。（5）交换律对于且，有。因为是一个加群，所以交换律知，。又因为，，所以。因此由函数相等的定义知，。综上

7、所述，也是一个加群。11.13是一个群，取定，对于，我们有定义：。证明：是一个群。证明（1）封闭性对于，，因为是一个群，所以得，从而有，因此。（2）结合律.---对于，我们有：=故结合律满足。（3）幺元为的幺元。因为对于，我们有，同理有。（4）逆元对于，其逆元为。因为同理可证，。综上所述，是一个群。8.14，是二个群。令，对于，我们定义，证明：为群。设，则是的正规子群。证明（1）封闭性对于，就有，。因为，为群，所以，。又因为，所以.---。（2）结合律对于，我们有：因为，是二个群，所以，。从而有。（3）幺元对于

8、，有，。因为，是二个群，所以它们存在幺元和，从而有。因为，所以是的右幺元；同理可证，是的左幺元。故是的幺元。（4）逆元对于，有，。因为，是二个群，所以为的逆元，为的逆元，显然有。因为，所以是的右逆元；同理可证是的左逆元。故是的逆元。综上所述，为群。（）证明（1）因为和为群，所以有即，从而。（2）是的子群对于，有，且为的幺元。因为为群，且，所以，从而有。又因为.---O为群，所以。由的定