奥数：第十讲 有趣的数阵图（二）

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1、第十讲有趣的数阵图（二）　　下面我们继续研究有关数阵图的问题.例1将1～7这七个自然数分别填入右图的7个小圆圈中，使三个大圆圆周上及内部的四个数之和都等于定数S，并指出这个定数S的取值范围，最小是多少，最大是多少？并对S最小值填出数阵.　　分析为了叙述方便，用字母表示圆圈中的数.通过观察，我们发现，三个大圆上，每个大圆上都有4个小圆，由题设每个大圆上的4个小圆之和为S.从图中不难看出：B是三个圆的公共部分，A、C、D分别是两个圆的公共部分而E、F、G仅各自属于一个圆.这样三个大圆的数字和为：3S=3B+2A+2C+2D+E+F+G，而A、B、…、F

2、、G这7个数的全体恰好是1、2、…、6、7.　　∴3S=1+2+3+4+5+6+7+2B+A+C+D.　　3S=28+2B+A+C+D.　　如果设2B+A+C+D=W，要使S等于定数　　　　即W最小发生于B=1、A=2、C=3、D=4　　W最大发生于B=7、A=6、C=5、D=4，　　综上所述，得出：　　13≤S≤19即定数可以取13～19中间的整数.　　本题要求S=13，那么A=2、B=1、C=3、D=4、E=5、F=6、G=7.　　注意：解答这类问题常常抓两个要点，一是某种共同的“和数”S.（同一条边上各数和，同一三角形上各数和，同一圆上各数和

3、等等）.　　二是全局考虑数阵的各数被相加的“次”数.主要突破口是估算或确定出S的值.从“中心数”B处考虑.（B是三个大圆的公共部分，常根据S来设定B的可能值.这里重视B不是简单地看到B处于几何中心，主要因为B参与相加的次数最多）此处因为定数是13，中心数可从1开始考虑.确定了S和中心数B，其他问题就容易解决了.　　解：例2把20以内的质数分别填入右图的八个圆圈中，使圈中用箭头连接起来的每条路上的四个数之和都相等.　　分析观察右图，我们发现：　　①有3条路，每条路上有4个数，且4个数相加的和要相等.　　②图形两端的两个数是三条路的公共起点和终点.因此

4、只要使三条路上其余两个数的和相等，就可以确保每条路上的四个数的和相等.　　③20以内的质数共有8个，依次是2、3、5、7、11、13、17、19.如果能从这八个数中选出六个数凑成相等的三对数，问题就可迎刃而解.如要分析，设起点数为X，终点数为y，每条路上4个数之和为S，显然有：　　3S=2x+2y+2+3+5+7+11+13＋17+19　　=2x+2y+77.　　　　即S最小=29，此时x=2,y=3　　　但这时，中间二个质数之和为47-（19+13）=15，但17＞15，17无处填.　　所以S=47是无法实现的.　　这题还另有一个独特的分析推理.

5、即惟一的偶质数必处于起点或终点位上.不然，其他路上为4个质数之和，2处于中间位的路上.这条路为3奇1偶相加，另两条路上为4个奇相加，形成矛盾.　　再进一步分析，（终点，始点地位对称）始点放上2，终点放上另一个质数，其他6个质数之和必为3的倍数.而经试算，只有终点放上3，而可满足的解法只有一种（已在下图中表出）.　　解：　　这样，轻而举地可得到：5+19=24，7+17＝24，11+13=24.例3把1、2、3、4、5、6、7、8这八个数分别填入右图中的正方形的各个圆圈中，使得正方形每边上的三个数的和相等.　　分析和解假设每边上的三数之和为　　S，四

6、边上中间圆圈内所填数分别为a、b、c、d，那么：　　a+c=b+d=（1+2+…+8）-2S=36-2S　　∴2S＝36-（a+C）＝36-（b+d）　　　　①若S=15，则a+c=b+d＝6，又1+5=2+4=6，试验可得下图　　②若S=14，则a+c=b+d=8，又1+7=2+6=3+5=8，试验可得下两图　　　③若S=13，则a+c=b+d＝10，又2+8＝3+7＝4+610，试验可得下两图　　④若S=12，则a+c=b+d＝12，又4+8＝5+7＝12，试验可得下图例4在一个立方体各个顶点上分别填入1～9这九个数中的八个数，使得每个面上四个

7、顶点所填数字之和彼此相等，并且这个和数不能被那个没有被标上的数字整除.　　试求：没有被标上的数字是多少？并给出一种填数的方法.　　分析为了叙述方便，设没有被标上的数字为a，S是每个面上的四个顶点上的数字之和.由于每个顶点数都属于3个面，所以得到：　　6S=3×（1+2+3+4+5+6+7+8+9）-3a　　6S＝3×45-3a　　2S＝45-a（1）　　根据（1）式可看出：因为左边2S是偶数，所以右边45-a也必须是偶数，故a必须是奇数.又因为根据题意，S不能被a整除，而2与a互质，所以2S不能被a整除，45也一定不能被a整除.”　　在奇数数字1、

8、3、5、7、9中，只有7不能整除45，所以可以确定a=7.　　　　这就证明正方体每个面上四个顶点所填数字之和是19，解法如