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1、06-07二期复习A5／5二期复习A1．（6'）已知
2、
3、=2，
4、
5、=3，且与的夹角为，求以向量为两邻边的平行四边形的周长及面积．解∵
6、
7、2=·=()·()=9
8、
9、2-24·+16
10、
11、2=9×4-24×2×3×cos+16×9=108∴
12、
13、=，∵
14、
15、2=·=()·()=
16、
17、2+4·+4
18、
19、2=4+4×2×3×cos+4×9=52∴
20、
21、=．以向量，为两边的平行四边形的周长为L=2(
22、
23、+
24、
25、)=2(+)．以向量，为两边的平行四边形的面积为S=
26、×
27、=
28、()×()
29、=3×-4×+6×-6×=10×{a*b=-b*a}!!!=10
30、
31、×
32、
33、
34、×sin=30．2．（6'）一平面过点(1,0,-1)，且平行于向量=(2,1,1)和=(1,-1,0)，试求此平面方程．解设平面法向量为，则=×==+-3=(1,1,-3)于是所求平面方程为(x-1)+y-3(z+1)=0，即x+y-3z-4=0．3．（6'）一直线通过点M0(2,1,3)且与直线L：垂直相交，求此直线方程．解设所求直线方程与L交于点M(x,y,z)，该点在L上，而Ｌ的参数方程为，于是有=(-1+3t-2,1+2t-1,-t-3)=(-3+3t,2t,-t-3)两直线垂直相交，有，即 (-9+9t+4t+t
35、+3)=0得t=，于是有06-07二期复习A5／5=(-2,1,-4)由对称式得所求直线为．4．（6'）设函数z=arctan()，求，，．解==-===-=-5．（6'）已知w=f(x-y,y-z,t-z)，f为可微函数，求：+++．解∵=f1'，=-f1'+f2'，=-f2'-f3'，=f3'∴+++=0．6．（7'）设一长方体的长、宽、高之和为定值a，问长、宽、高三者取怎样的比例关系时，所构成的长方体体积最大？解这是条件极值问题．设长、宽、高分别为x、y、z，则目标函数为V=xyz条件为x+y+z=a将条件代入目标函数，得
36、V=xy(a-x-y)=axy-x2y-xy2 或 V=xyz+λ(x+y+z-a)令Vx=ay-2xy-y2=0Vy=ax-2xy-x2=0得a(y-x)=(y2-x2)即y+x=ay-x=0舍去y+x=a(由条件x+y+z=a及实际意义知z不可能为零），得y=x=06-07二期复习A5／5是唯一极值点，由问题的实际意义知，体积必有最大值，故当x=y=z=时，V取得大值．7．（6'）求由y=x2，y=0，x=1所围区域上的二重积分．解求解此积分时选择积分次序十分重要，选择不当，可能求不出该积分．===8．（15'）已知I=
37、，Ω由锥面z=与平面z=R＞0所围部分．（1）把I化为直角坐标的三次积分；（2）把I化为柱面坐标的三次积分；（3）把I化为球面坐标的三次积分．解（1）锥面z=与平面z=R的交线方程为x2+y2=R2于是I=；（2）将锥面z=与平面z=R化为柱面坐标方程后，求交线方程为 =＞ r=R，于是I=；（3）将锥面z=与平面z=R化为球面坐标方程后，交线与z轴的夹角为 =＞ cosφ=sinφ， =＞ φ=于是I=．9．（6'）计算，积分路径与方向如图．解原式=--=--．06-07二期复习A5／510．（6'）计算曲面积分I=（写出二次
38、积分即可），Σ是球面x2+y2+z2=R2下半部的下侧．解I=-=-=-．11．（6'）用级数证明：=0．证设，因===<1由比值判别法知，级数收敛，根据级数收敛的必要条件，必有=0．12．（6'）求级数xn的和函数，并求．解∵ρ=
39、
40、=1∴R=1在x=±1处，级数的通项极限不为零，故其收敛域为
41、x
42、<1．S(x)=xn=2xn-=2()'-=2()'-==-=，
43、x
44、<1=S(-)=．13．（6'）将f(x)=展成x的幂级数．解 f(x)=-=-，
45、x
46、<1=xn，
47、x
48、<114．（6'）求微分方程 y"+5y'=3-2x的通
49、解．解这是二阶常系数线性微分方程．先求对应齐次微分方程的通解．由r2+5r=0，得 r1=0，r2=-5，齐次方程的通解为Y=C1+C2e-5x．因为f(x)=3-2x，m=1，α=0，而α=0，是特征单根，故设特解为y*=x(Ax+B)，代入原方程，得06-07二期复习A5／52A+10Ax+5B=3-2x得A=-，B=于是非齐次方程的通解为y=C1+C2e-5x-x+．15．（6'）设f(x)为可微分函数，且满足f(x)=+1求：f(x)．解对f(x)=+1两边关于x求导得f'(x)=f(x)即f'(x)-f(x)=0这是一
50、阶线性齐次微分方程，其通解为f(x)=Cex注意到f(0)=1，得f(x)=ex．
