《数列问题》word版

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1、三数列问题——从高斯的故事谈起高斯是19世纪德国的著名数学家。他从小喜欢学数学，善于思考，聪明过人。据说他在读小学三年级的时候，一次老师布置一道题目：“把从1到100的自然数加起来，和是多少？”正当同学们埋头一个数一个数加的时候，小高斯很快报出答数为5050，这使得老师非常吃惊。小高斯是采取什么办法巧妙地进行计算的呢？先来观察一下题目，发现数字的排列是有规律的。1+2+3+4+5+6+7+8+9+⋯⋯+100。这是按自然数排列的，后面一个数都比前面一个数大1，好比上体育课同学们排成一队，叫做队列，这就叫做数列。请观察下面的数列：①1，3，5，7，9，11；②2，

2、6，10，14，18，22；③5，10，15，20，25，30。这些数列的两个数之间的差都是相等的，所以叫做等差数列。既然这些数列排列都有规律可找，因此可以发现许多数学问题，这些就是数列问题。小高斯做的题目是最简单的数列问题。100个数相加大多了。我们先用九个数来研究一下：这样凑成4个10再加上5，和为45。还有一个办法：1+2+3+4+5+6+7+8+9=和9+8+7+6+5+4+3+2+1=和�2倍和￾10+10+10+10+10+10+10+10+10=90把数列颠倒过来相加，所得结果是和的2倍，只要除以2就得到答案：和＝90÷2＝45。按照这个道理，可以

3、得到求等差数列的和的一般公式：（首项+末项）×个数÷2把小高斯做的题目：1+2+3+4+5+⋯+100代入公式：（1+100）×100÷2=101×100÷2=10100÷2=5050例11+2+3+⋯+250＝31375（1+250）×250÷2=251×250÷2=62750÷2=31375例21+3+5+7+9+⋯+199＝10000这是一列奇数数列，也可代入公式（首项十末项）×个数÷2（1+199）×100÷2=20000÷2=10000怎样算出连续奇数的个数，不必一个一个地数出来。只要（首项+末项）÷2，就能求出个数。例3101+103+105+⋯+1

4、99=？这道题和上面讲的有所不同。它虽然也是求连续奇数的和，但却不是从1开始的。其实也不难，只要先算出从1到199的连续奇数的和，再减去从1到99的连续奇数的和，问题就解决了。∵1+3+5+⋯+99=2500，1+3+5+⋯+199=10000，∴101+103+105+⋯+199=10000-2500＝7500。例42+4+6+⋯+100=？这道题一看就知道，是求从2开始连续偶数的和。同样可用上面的公式代入（2+100）×50÷2=5100÷2=2550。要知道从2开始连续偶数的个数，也不用一个一个地去数，只要把最后那个偶数除以2就可以了。例5五个连续偶数的和

5、是150，这五个偶数是哪几个数？粗看这道题目觉得很难，感到无从下手。可以先枚举几组五个连续偶数观察一下：请你仔细观察分析，就会发现规律，五个连续偶数的和，凑巧是中间数的5倍。中间数找到了，前后四个数就能写出来了。解例5：先求出五个连续偶数的中间数：150÷5=30。所以这五个连续偶数是：26，28，30，32，34。例6已知四个连续偶数的和是84，这四个偶数是哪几个数？这道题是四个连续偶数，没有中间数，上面的办法不适用了，要根据上题的思路重新想办法。先枚举几组题目观察一下：从上面两组题发现，四个连续偶数分成两个数对，每个数对的和是相等的。根据这个特点，可以从这个

6、和中先求出一个数对，然后再推算出四个连续偶数来。84÷2=42然后推算出这个四个偶数：18，20，22，24。例710到80之间能被7整除的各数之和是多少？10到80之间，7的最小倍数是14，7的最大倍数是77，这是一列7的倍数的数列：14+21+28+⋯+77＝455。代入求等差数列之和的公式得：（14+77）×10÷2=910÷2=455。例1111⋯8×12+2×3+3×4++99×100=?求这一数列各数之和，如果按照普通方法计算实在太麻烦了。你愿意试一下的话，恐怕半天还算不出来呢。从何下手呢？首先要仔细分析题目，看看这些分数有什么特点。不难看出，这99

7、个分数的分子都是1，分母都是两个连续的自然数的乘积。这一数列的编列是有规律可找的。根据分数乘法的法则，它们都可以分成两个分数相乘，如：111111=×·×=×.111×21122323∵×=212131-=3163-26111=.61∴×23=-23。根据上面分析，两个分数的积与这两个数的差可能相等。但这两个分数不是任意的，它们必须符合一定的条件。具体地说，就是它们的分子都是1，分母分别是两个连续的自然数中的一个。分析到这里，爱动脑筋的同学会恍然大悟解答例8可以找到简便方法了。只要用两个分数的差的形式代入式子里：同学们看到这里一定会高兴得跳起来。这个方法太巧妙了

8、！1+1,11-+223