空间解析几何答案(2)

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1、第八章空间解析几何与向量代数§8.1向量及其线性运算1.填空题（1）点关于面对称的点为（），关于面对称的点为（），关于面对称的点为（）.（2）点关于轴对称的点为（），关于轴对称的点为（），关于轴对称的点为（），关于坐标原点对称的点为（）.2.已知两点和，计算向量的模、方向余弦和方向角.解：因为，故，方向余弦为，，，方向角为，，.3.在平面上，求与、、等距离的点.解：设该点为，则，即，解得，则该点为.4.求平行于向量的单位向量的分解式.解：所求的向量有两个，一个与同向，一个与反向.因为，所以.5.设，，求向量在各坐标轴上的投影及分向量.

2、解：因为，所以在轴上的投影为，分向量为，轴上的投影为，分向量为，轴上的投影为，分向量为.6.在平面上，求与、和等距离的点.解：设所求的点为，由可得，解之得，故所求的点为.7.已知点且向量在x轴、y轴和z轴上的投影分别为，求点的坐标.解：设点的坐标为，由题意可知，则，即点的坐标为.8.试用向量法证明：三角形各边依次以同比分之，则三个分点所成的三角形必与原三角形有相同的重心.证明：若、、是一个的三个顶点，设三角形的重心为，则设的同比之分点分别为、、，分点的坐标为则三角形的重心为.所以三个分点所成的三角形必与原三角形有相同的重心.§8.2数

3、量积向量积1.若，求的模.解：所以.2.已知，证明：.证明：由，可得，可知，展开可得，即，故.3.已知，求.解：因为所以，.4.已知，，求与的夹角及在上的投影.解：，，.因为，所以.5.已知,,为单位向量，且满足，计算.解：因为，所以，而，所以.6.求与都垂直的单位向量.解：而，所以.7.设，试证、、三点共线.证明：只需证明.因为，所以.8.已知，，（1）确定的值，使得与平行.（2）确定的值，使得与垂直.解：（1）要使与平行，只需，因为，而，所以当时与平行.（2）要使与垂直，只需，因为，而，所以当时，与垂直.§8.3曲面及其方程1.填

4、空题（1）将xOz坐标面上的抛物线绕轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（），绕轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（）.（2）以点为球心，且通过坐标原点的球面方程为（）.（3）将坐标面的圆绕轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（）.2.求与点与点之比为的动点的轨迹，并注明它是什么曲面.解：设动点为，由于，所以，解之，可得，即，所以所求的动点的轨迹为以点为心，半径为的球面.3.求与点和点等距离的动点的轨迹.解：设动点为，由题意知，整理得.4.写出下列曲面的名称，并画出相应的图形.（1）.解：该曲面为单叶双曲面.（2）.解：该曲面为双叶

5、双曲面.（3）.解：该曲面为旋转椭球面.（4）.解：该曲面为双曲柱面.（5）.解：该曲面为椭圆抛物面.（6）.解：该曲面为椭圆锥面.§8.4空间曲线及其方程1.填空题（1）二元一次方程组在平面解析几何中表示的图形是（两相交直线的交点）；它在空间解析几何中表示的图形是（两平面的交线，平行于轴且过点）.（2）旋转抛物面在面上的投影为（），在面上的投影为（），在面上的投影为（）.2.求球面与平面的交线在面上的投影方程.解：将代入，得，因此投影方程为.3.分别求母线平行于轴、轴及轴且通过曲线的柱面方程.解：在中消去得，即为母线平行于轴且通过曲

6、线的柱面方程.在中消去得，即为母线平行于轴且通过曲线的柱面方程.在中消去得，即为母线平行于轴且通过曲线的柱面方程.4.将下列曲线的一般方程化为参数方程：（1）.解：将代入得，即.令，，所求的参数方程为.（2）.解：做变换，将其带入方程，即得.所以参数方程为（）.5.求螺旋线在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程.解：螺旋线在面上的投影为，直角坐标方程为.螺旋线在面上的投影为，直角坐标方程为.螺旋线在面上的投影为，直角坐标方程为.6.画出下列方程所表示的曲线：（1）.（2）.（3）.§8.5平面及其方程1.填空题（1）一平面过点且平行于

7、向量和，平面的点法式方程为（）,平面的一般方程为（）,平面的截距式方程（）,平面的一个单位法向量为（）.（2）设直线的方程为，当（）时，直线过原点；当（）且（或有一个成立）时，直线平行于轴但不与轴相交；当（）时，直线与轴相交；当（）时，直线与轴重合.2.求过三点，和的平面方程.解：由平面的三点式方程知，所求的平面方程为=0，即.3.求过点且垂直于两平面和的平面方程.解：该平面的法向量为，平面的方程为，即.4.求点到平面的距离.解：点到平面的距离公式是，因此点到平面的距离为.5.求平面与各坐标面的夹角的余弦.解：所给平面的法向量为，设该

8、平面与面、面和面的夹角为、和，于是，，.6.求过点且在三个坐标轴上的截距相等的平面的方程.解：设所求平面的方程为，由于点在平面上，则，，所求方程为.7.分别按下列条件求平面方程：（1）平行于平面且经过点；（2）通过轴和点