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《高等数学考研知识点总结(2)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、第五讲中值定理的证明技巧一、考试要求1、理解闭区间上连续函数的性质（最大值、最小值定理，有界性定理，介值定理），并会应用这些性质。2、理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理、泰勒定理，了解并会用柯西中值定理。掌握这四个定理的简单应用（经济）。3、了解定积分中值定理。二、内容提要1、介值定理（根的存在性定理）（1）介值定理在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值.（2）零点定理设f(x)在[a、b]连续，且f(a)f(b)＜0，则至少存在一点,c(a、b)，使得f(c)=02、罗尔定理若函数满足：（1）在上连续（2）在内可导（3）则一定存在使得3、拉格朗日中
2、值定理若函数满足：（1）在上连续（2）在内可导则一定存在，使得4、柯西中值定理若函数满足:（1）在上连续（2）在内可导（3）则至少有一点使得125、泰勒公式如果函数在含有的某个开区间内具有直到阶导数,则当在内时,可以表示为的一个次多项式与一个余项之和，即其中(介于与之间).在需要用到泰勒公式时，必须要搞清楚三点：1．展开的基点；2．展开的阶数；3．余项的形式．其中余项的形式，一般在求极限时用的是带皮亚诺余项的泰勒公式，在证明不等式时用的是带拉格朗日余项的泰勒公式．而基点和阶数，要根据具体的问题来确定．6、积分中值定理若f(x)在[a、b]上连续，则至少存在一点c∈[a、b]
3、，使得f(x)dx=f(c)(b-a)三、典型题型与例题题型一、与连续函数相关的问题（证明存在使或方程f(x)=0有根）方法：大多用介值定理f(x)满足：在[a,b]上连续；f(a)f(b)<0.思路：1）直接法2）间接法或辅助函数法例1、设在[a,b]上连续，，证明存在，使得12例2、设在[a,b]上连续、单调递增，且，证明存在使得*例3、设在[a,b]上连续且，证明存在使得。.例4、设在[a,b]上连续，证明存在使得例5、设f(x)在[0,1]上连续，且f(x)<1.证明：在(0,1)内有且仅有一个实根。例6、设实数满足关系式，证明方程12，在内至少有一实根。例7、（0
4、234，6分）设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续，且g(x)>0,利用闭区间上连续函数的性质，证明存在一点使得题型二、验证满足某中值定理例8、验证函数，在[0，2]上满足拉格朗日中值定理，并求满足定理的题型三、证明存在,使(n=1,2,…)12方法：1、用费马定理2、用罗尔定理（或多次用罗尔定理）3、用泰勒公式思路：可考虑函数例9、设在[a,b]上可导且，证明至少存在一个使得例10、设在[0,3]上连续，在（0,3）内可导，且，证明存在一个使得*例11、设在[0,2]上连续，在（0，2）内具有二阶导数且，证明存在使得题型四、证明存在,使12方法：1）用罗尔定理（原函
5、数法，常微分方程法），2）直接用拉格朗日中值定理和柯西中值定理（要求a,b分离）思路：1）换为2）恒等变形，便于积分3）积分或解微分方程4）分离常数：即为辅助函数(1)用罗尔定理1)原函数法:步骤：将x换为x;恒等变形，便于积分；求原函数，取c=0；移项，得F(x).例12、设在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且，求证存在使得例13、（0134）设f(x)在[0,1]上连续，(0,1)内可导，且证明：在(0,1)内至少存在一点x,使12例14、设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)f(b)>0,f(a)g(x)在[a,b]上连续，试证对.*例15
6、、设f(x)在[0，1]上连续，在（0，1）内一阶可导，且.试证：使得..2)常微分方程法:适用:步骤：解方程令例16、设在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且，证明存在使得12*例17、设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1,证明：对任意实数,使得(2)直接用拉格朗日或柯西中值定理例18、设在上连续，在内可导，求证存在，使得例19、设在上连续，在内可导，求证存在，使得例20、设在上连续，在内可导，求证存在，使得例21、设在上连续，在内可导，求证存在，使得12题型5、含有(或更高阶导数)的介值问题方法：1）原函数法（对仍用微分中值
7、定理:罗尔定理，拉格朗日，柯西中值定理）；2）泰勒公式例22、设f(x)在[0,1]上二阶可导，且f(0)=f(1),试证至少存在一个,使例23、（012，8分）设在上具有二阶连续导数，f(0)=0(1)写出f(x)的带拉氏余项的一阶麦克劳林公式。(2)证明在上至少存在一个使得例24、设f(x)在[－1,1]上具有三阶连续导数，且f(-1)=0,f(1)=1,f¢(0)=0,证明:在(-1,1)内存在一点x，使得12.例25、（103）设函数f(x)在闭区间[0,3]上连续,在开区间(0,3)内二阶可导,且2f(0
