函数的单调性与最值(含解析

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1、第三节函数的单调性与最值[知识能否忆起]一、函数的单调性1．单调函数的定义增函数减函数定义设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象逐渐上升自左向右看图象逐渐下降2．单调区间的定义若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．二、函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果

2、存在实数M满足条件①对于任意x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M①对于任意x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值[小题能否全取]1．(2012·陕西高考)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为(　　)A．y＝x＋1　　　　　　B．y＝－x3C．y＝D．y＝x

3、x

4、解析：选D　由函数的奇偶性排除A，由函数的单调性排除B、C，由y＝x

5、x

6、的图象可知此函数为增函数，又该函数为奇函数，故选D.2．函数y＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是减函数，则(　　)A．k>B．k－D．k<－9解析：选D　函数y＝(2k＋1)x＋

7、b是减函数，则2k＋1<0，即k<－.3．(教材习题改编)函数f(x)＝的最大值是(　　)A.B.C.D.解析：选D　∵1－x(1－x)＝x2－x＋1＝2＋≥，∴0<≤.4．(教材习题改编)f(x)＝x2－2x(x∈[－2,4])的单调增区间为________；f(x)max＝________.解析：函数f(x)的对称轴x＝1，单调增区间为[1,4]，f(x)max＝f(－2)＝f(4)＝8.答案：[1,4]　85．已知函数f(x)为R上的减函数，若mf(n)；>1，即

8、x

9、<1，且

10、x≠0.故－1　(－1,0)∪(0,1)总结1.函数的单调性是局部性质从定义上看，函数的单调性是指函数在定义域的某个子区间上的性质，是局部的特征．在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调．2．函数的单调区间的求法函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域．对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数函数、指数函数等；如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间．[注意]　单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如

11、有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．函数单调性的判断典题导入[例1]　证明函数f(x)＝2x－在(－∞，0)上是增函数．[自主解答]　设x1，x2是区间(－∞，0)上的任意两个自变量的值，且x10，因此f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)

12、商、变形、判断)证明；(2)可导函数则可以利用导数证明．对于抽象函数单调性的证明，一般采用定义法进行．以题试法1．判断函数g(x)＝在(1，＋∞)上的单调性．解：任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x10，因此g(x1)－g(x2)<0，即g(x1)

13、x

14、.当k＝时，函数fk(x)的单调递

15、增区间为(　　)A．(－∞，0)　　　　　B．(0，＋∞)C．(－∞，－1)D．(1，＋∞)[自主解答]　由f(x)>，得－1

16、x

17、变为f(x)＝log2

18、x

19、，其他条件不变，则fk(x)的单调增区间为________．解析：函数f(x)＝log2

20、x

21、，k＝时，函