曲线积分与曲线积分

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1、六、曲线积分与曲面积分第40页共40页六、曲线积分与曲面积分1．设曲线是上半圆周，则。解法1由于关于直线对称，所以，从而。解法2令，则。解法3设曲线的质量分布均匀，则其重心的横坐标为。又因为，所以。2．设是上半椭圆周，是四分之一椭圆周，则(A)。(B)。(C)。(D)。[]答D解由于关于轴对称，所以，，，，。注意到，从而可以排除(A)，(B)，(C)三个选项，或直接选出正确选项(D)。3．计算，其中是圆周上从点经点到点的一段。40六、曲线积分与曲面积分第40页共40页解法1取为自变量，则的方程为，

2、其中，所以解法2取的参数方程为其中，所以。解法3由于是圆周的外向单位发向量，所以此圆周的正向单位切向量为。根据两类曲线积分之间的关系，得，其中的方程为，起点为，终点为。因此。4．计算，其中是圆周。解由于圆周关于轴对称，所以，从而因为的参数方程为，所以40六、曲线积分与曲面积分第40页共40页5．已知曲线是平面与球面的交线，计算曲线积分。解法1由于曲线的方程中的变量具有轮换对称性，所以，，因此，，从而。解法2直接化成定积分进行计算。曲线：在平面的投影曲线是一椭圆，其方程是，即。令，，则曲线的参数方程

3、为，40六、曲线积分与曲面积分第40页共40页所以。从而，，，因此。6．求柱面被球面包围部分的面积。解根据第一型曲线积分的几何意义及对称性，得，其中是平面曲线在第一象限中的部分。取的参数方程为，，则，所以40六、曲线积分与曲面积分第40页共40页7．计算，其中是从点经过点到点的折线段。解设从到；从到。根据路径可加性，得。8．设是圆周，则。解1根据格林公式，得。解2由于是的外向单位法向量，所以就是的正向单位法向量。根据两类曲线积分之间的关系，得。9．计算，其中是圆周，顺时针方向为正。解1取的参数方程

4、为从到，则解2由于具有一阶连续偏导数，并注意到的方向，根据格林公式得40六、曲线积分与曲面积分第40页共40页10．计算，其中从点沿曲线到点，再沿直线到点。解1设从点沿曲线到点；从点沿直线到点。则由于，所以，从而。解2设从点沿直线到点；从点沿直线到点，与和围成的区域记为。根据格林公式得11．计算，其中是曲线从点到点的一段。解1记，当时，有40六、曲线积分与曲面积分第40页共40页。令是折线段，则根据格林公式易知解2令是直线段，是圆周，足够小。由于当时，有，所以根据格林公式得12．设在全平面内有连续

5、的一阶偏导数，且满足，记为包围原点的正向简单闭曲线，计算。解记，其中。由于40六、曲线积分与曲面积分第40页共40页，，且，所以当时，。任取充分小，记为圆周，并取逆时针方向，根据格林公式可知，，故。令：，则=。由于与的值无关，令，得。13．计算，其中为在第一象限中的部分，方向为从点到。解1由于曲线积分与路径无关，所以。又，所以。解2取是从点经点到点，根据格林公式，得40六、曲线积分与曲面积分第40页共40页14．设是右半平面内的有向分段光滑曲线，起点为，终点为。证明曲线积分与路径无关，并求的值。解

6、1因为在右半平面内处处成立，所以曲线积分在右半平面内与路径无关。取为从点经过点到点的折线段，得解2因为40六、曲线积分与曲面积分第40页共40页所以是在右半平面上的一个原函数，所以曲线积分在右半平面内与路径无关，且15．计算,是曲线在第一卦限中的部分,从点到点.解1取的参数方程为，参数从变到，则16．计算，其中是球面与平面的交线，从轴正向看去为逆时针方向。解1曲线在平面上的投影的方程为，这是一个椭圆。取的参数方程为参数从到，从而40六、曲线积分与曲面积分第40页共40页解2由于曲线在平面上的投影曲

7、线为：，所以解3取为曲线在平面上围成的半径是圆盘，上侧为正。根据斯托克斯公式得17．计算，其中为与的交线，方向为从轴的正向往负向看去是顺时针。解1求解，得，所以的方程为，其参数方程为，参数从变到。因此40六、曲线积分与曲面积分第40页共40页解2求解，得，所以的方程为。取，上侧为正，根据斯托克斯公式，得18．计算,其中是用平面切立方体所得的切痕,从轴正向看去为逆时针方向.解取为平面上由围成的边长是的正六边形，方向向上。根据斯托克斯公式，得19．计算，其中是平面与柱面的交线，从轴正向看去，为逆时针方

8、向。解1记分别为在第一、第二、第三和第四卦限中的部分，则40六、曲线积分与曲面积分第40页共40页解2记为在平面上的投影，则的方程是，所以解3取为上由围成的平面区域，上侧为正。根据斯托克斯公式，得解4根据斯托克斯公式，得。40六、曲线积分与曲面积分第40页共40页而所以。20．已知曲线积分与路径无关，求的值，并求从到的积分值。解因为函数都在整个空间上具有连续偏导数，所以与路径无关的充要条件是，即40六、曲线积分与曲面积分第40页共40页对任意的都成立。因此必有。取是由平行于坐标轴直