空间角与距离和空间向量

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1、空间角与距离1.角：异面直线所成的角,直线和平面所成的角,二面角,都化归为平面几何中两条相交直线所成的角。异面直线所成的角：通过平移的变换手段化归，具体途径有：中位线、补形法等。直线和平面所成的角：通过作直线射影的作图法得到。二面角：化归为平面角的度量，化归途径有：定义法，三垂线定理法，棱的垂面法及面积射影法。2.距离：异面直线的距离，点面距离，线面距离及面面距离。异面直线的距离：除求公垂线段长度外，通常化归为线面距离和面面距离。线面距离，面面距离常化归为点面距离。3.计算问题：（1）空间角的计算步骤：一作、二证、三算异面直线所成的角范围：0°＜θ≤90°方法：①平移法；②补形法.直线与

2、平面所成的角范围：0°≤θ≤90°方法：关键是作垂线，找射影.二面角范围：0°≤θ≤180°方法：①定义法；②三垂线定理及其逆定理；③垂面法.注：二面角的计算也可利用射影面积公式S′=Scosθ来计算（2）空间距离①两点之间的距离.②点到直线的距离.③点到平面的距离.④两条平行线间的距离.⑤两条异面直线间的距离.⑥平面的平行直线与平面之间的距离.⑦两个平行平面之间的距离.七种距离都是指它们所在的两个点集之间所含两点的距离中最小的距离.七种距离之间有密切联系，有些可以相互转化，如两条平行线的距离可转化为求点到直线的距离，平行线面间的距离或平行平面间的距离都可转化成点到平面的距离.在七种距离

3、中，求点到平面的距离是重点，求两条异面直线间的距离是难点.求点到平面的距离：(1)直接法，即直接由点作垂线，求垂线段的长.(2)转移法，转化成求另一点到该平面的距离.(3)体积法.求异面直线的距离：(1)定义法，即求公垂线段的长.(2)转化成求直线与平面的距离.(3)函数极值法，依据是两条异面直线的距离是分别在两条异面直线上两点间距离中最小的.注:在解答立体几何的有关问题时，应注意使用转化的思想：①利用构造矩形、直角三角形、直角梯形将有关棱柱、棱锥的问题转化成平面图形去解决.②将空间图形展开是将立体几何问题转化成为平面图形问题的一种常用方法.③补法把不规则的图形转化成规则图形，把复杂图形

4、转化成简单图形.④利用三棱锥体积的自等性，将求点到平面的距离等问题转化成求三棱锥的高.⑤平面图形的翻折，要注意翻折前后的长度、角度、位置的变化，翻折前后在同一个三角形中的角度、长度不变例51.空间四边形ABCD中，E、F分别为AC、BD中点，若CD＝2AB＝4，EF⊥AB，则EF与CD所成的角为()(A)30°(B)45°(C)60°(D)90°例52.如图，AB=2，AC⊥，BD⊥，C，D，CD=1，则直线AB与所成的角为（）(A)30(B)60(C)arctan(D)45例53.已知正方形ABCD，沿对角线AC将△ADC折起，设AD与平面ABC所成的角为b，当b取最大值时，二面角B―

5、AC―D等于()(A)1200(B)900(C)600(D)450例54.若三直线PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=3，则点P到平面ABC的距离为（）(A)(B)(C)(D)空间角与距离和空间向量6空间角与距离例55.等边△ABC的边长是1，BC边上的高是AD，沿AD折成直二面角，则点A到BC的距离是（）(A)(B)(C)(D)1例56.如图，在棱长为2的正方体中，O是底面ABCD的中心，E是的中点，那么异面直线OE和之间的距离等于()(A)　　(B)1　　(C)　　(D)例57.正方体ABCD-A1B1C1D1中，（1）BC1与底面ABCD所成角为；（2）A1C与底面ABC

6、D所成的角的正切值为；（3）BC1与对角面BB1D1D所成的角为。例58.若二面角内一点到二面角的两个面的距离分别为a和，到棱的距离为2a，则此二面角的度数是.例59.二面角为，在其内一点到平面的距离分别为2，3，，则的周长的最小值为.例60.如图，P—ABCD是正四棱锥，是正方体，其中.（1）求证：；（2）求平面PAD与平面所成的锐二面角的大小；（3）求到平面PAD的距离.空间向量及其运算1.空间向量及其加减与数乘运算：(1)在空间，具有大小和方向的量叫做向量．长度相等且方向相同的有向线段表示同一向量或相等的向量．(2)空间向量的加法、减法与向量数乘运算是平面向量运算的推广．(3)空间

7、向量的加减与数乘运算满足如下运算律：加法交换律：;加法结合律：;数乘分配律：.2.共线向量与共面向量:(1)如果表示向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫共线向量或平行向量.6空间向量及其运算(2)平行于同一平面的向量叫做共面的向量．任意两个向量总是共面的．(3)共线向量定理：对空间任意两个向量的充要条件是存在实数使;推论：如果为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，那么对任一点O，点P在直线上的充要条件是存在实数,