泰勒定理及其应用

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1、毕业论文目录题目……………………………………………………………………………………………..2摘要……………………………………………………………………………………………..2关键词…………………………………………………………………………………………..2一、泰勒定理的证明…………………………………………………………………………..2二、泰勒定理的推广…………………………………………………………………………..7三、泰勒定理的应用…………………………………………………………………………..8参考文献……………………………………………………………………………………….17英文摘要………

2、……………………………………………………………………………….1717泰勒定理及其应用谢玉荣(200311533)(数学科学学院数学与应用数学专业03级蒙班)指导老师：斯钦摘要:本文介绍了泰勒定理的几种不同的证明方法其中包括一个新的证明，并且讨论了推广和应用.关键词:Taylor公式推广极限近似值等式不等式本文介绍了泰勒定理的三个不同的证明和一些应用,泰勒定理在数学领域中占有十分重要的地位,在《微积分》中很多不易解决的问题都可以通过Taylor公式与泰勒级数来解决,本文着重介绍了Taylor公式的几个应用从这个应用可以看出他们的用处是很广泛的.一、定理的证明积分第一中值定理设、都

3、在上可积并且不变号，mM.则有常数满足mM,=如果还是在上连续的,则至少有一点使:=,积分中值定理如果函数在闭区间上连续,则在上至少存在一点使得下式成立:=（b-a）,牛顿—莱布尼兹公式如果函数F(x)是连续函数在区间上的一个原函数则=F(b)-F(a)泰勒定理如果函数在含有点的某区间内具有一阶直到n+1阶的连续导数则当时可以按的方幂展开为=+++…++17………(1)其中=称为余项公式(1)称为n阶Taylor公式.①=,介于与之间这时称为拉格朗日型余项.②=称为皮亚诺型余项.证明一:利用上面几个定理证明泰勒定理在区间内具有一阶直到n+1阶的连续导数所以,则在上具有一阶直到n+

4、1阶的连续导数（不妨设<）,由积分中值定理与牛顿—莱布尼兹公式可得:,在与之间,－－=即=+,在与之间又由积分中值定理与牛顿—莱布尼兹公式得:,在与之间所以=对不同的（<）在上都有==由此可得=是的函数,类似可得也是的函数17将等式=两边取到的积分得:=而=－－对因为是的函数且不变号由积分第一中值定理得=其中mM(m与M分别是在上的最小值与最大值)于是=在上连续由连续函数的介值定理和最小值与最大值定理知至少存在一点使得=.即=从而－－=即=++,在与之间同理有,在与之间所以=,在与之间，将等式两边取到的积分得:17=在与之间,上式两边再取到的积分得：－－－=,在与之间，重复上述过

5、程最后得:=+++…++其中=,在与之间,,,,…未必相同，但他们都在与之间记=所以=,在与之间.证明二:利用柯西中值定理证明泰勒定理作辅助函数:=…+与,无妨设<则函数在上具有一阶直到n+1阶的连续导数并且在上的各阶导数均不为零我们可以在上逐次应用柯西中值定理得到定理的证明，上面作辅助函数时把换成变量然后n+1次应用柯西中值定理,若作辅助函数时把换成变量只应用一次柯西中值定理即可.即=+…+与=17显然函数在上连续可导且及于是有所以证明三：证明前我们先看一个引理引理设函数满足：(ⅰ)在上存在直到n阶的连续导数；(ⅱ)在内n+1阶可导；(ⅲ)，且…=（或者，且=…==0）那么在内

6、至少存在一点使得=0.下面我们将给出泰勒定理的一个新证明由条件,在与之间不妨设=+++…+………(2)那么17在上存在直到n+1阶的连续导数且注意到(2)有，…从而由引理可知存在使得，这里在与之间,而故有，所以带入(2)得=+++…+,在与之间,即定理成立.说明：⒈在公式(1)中当n=0时有=+这正是拉格朗日中值定理，所以泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广.⒉当=0时记=则公式(1)为=…+………(3)其中=公式(2)称为麦克劳林公式.一、泰勒定理的推广定理设、在()内存在直到n+1阶的连续导数，且…≠0，(),那么对()有17=+++…++………(4),其中=,在与之间.(其

7、中()是的去心邻域).证：首先假设()有≠0,(=0,1,2,…,n)否则将于引理矛盾，故先设………(5),那么由题设知在上存在直到n+1阶的连续导数且，…依引理知存在使得，这里在与之间而注意到故有结合≠0，就有,带入(5)得即知定理成立.一、定理的应用1.计算极限例1.求下列极限.解：因分子关于的次数为2，17所以例2.求分析：本题是“”型，可以利用洛比达法则求极限，但比较复杂，现在利用公式求解.解：所以从而有又当时故17例3.证明证：已知两式相减有即令得即又其中,则17于是有