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1、实用标准文案第16章无约束最优化问题16.1单变量最小化16.1.1基本数学原理本节讨论只有一个变量时的最小化问题，即一维搜索问题。该问题在某些情况下可以直接用于求解实际问题，但大多数情况下它是作为多变量最优化方法的基础，因为进行多变量最优化要用到一维搜索算法。该问题的数学模型为：该问题的搜索过程可用下式表达：求解单变量最优化问题的方法有很多种。根据目标函数是否需要求导，可以分为两类，即直接法和间接法。直接法不需要目标函数的导数，而间接法则需要用到目标函数的导数。1.直接法常用的一维直接法主要有消去法和近似法两种。（1）消去法。该法利用
2、单峰函数具有的消去性质进行反复迭代，逐渐消去不包含极小点的区间，缩小搜索区间，直到搜索区间缩小到给定的允许精度为止。一种典型的消去法为黄金分割搜索法（GoIdenSectionSearch）。黄金分割搜索法的基本思想是在单峰区间内适当插入两点，将区间分为3段，然后通过比较这两点函数值的大小来确定是删去最左段还是删去最右段，或是同时删去左、右两段保留中间段。重复该过程使区间无限缩小。插入点的位置放在区间的黄金分割点及其对称点上，所以该法称为黄金分割搜索法。该法的优点是算法简单，效率较高，稳定性好。（2）多项式近似法。该法用于目标函数比较复
3、杂的情况。此时寻找一个与它近似的函数来代替目标函数，并用近似函数的极小点作为原函数极小点的近似。常用的近似函数为二次和三次多项式。二次内插涉及到形如下式的二次函数数据拟合问题：其中步长极值为然后只要利用3个梯度或函数方程组就可以确定系数a和b,从而可以确定a*。得到该值以后，进行搜索区间的收索。在缩短的新区间中，重新安排3点求出下一次的近似极小点a*，如此迭代下去，直到满足终止准则为止。其迭代公式为式中二次插值法的计算速度比黄金分割搜索法的快，但是对于一些强烈扭曲或可能多峰的函数，该法的收敛速度会变得很慢，甚至失败。精彩文档实用标准文案
4、2．间接法间接法需要计算目标函数导数，优点是计算速度很快。常见的间接法包括牛顿切线法、对分法、割线法和三次插值多项式近似法等。优化工具箱中用得较多的是三次插值法。三次插值的基本思想与二次插值的一致，它是用4个已知点构造一个三次多项式P3(x)，用它逼近函数f(x)，以P3(x)的极小点作为数f(x)的近似极小点。一般地讲，三次插值法比二次插值法的收敛速度要快些，但每次迭代需要计算两个导数值。三次插值法的迭代公式为如果函数的导数容易求得，一般来说首先考虑使用三次插值法，因为它具有较高的效率。对于只需要计算函数值的方法中，二次插值法是一个很
5、好的方法，它的收敛速度较快，在极小点所在区间较小时尤其如此。黄金分割法则是一种十分稳定的方法，并且计算简单。由于以上原因，优化工具箱中用得较多的方法是二次插值法、三次插值法以及二次、三次混合插值法和黄金分割法。16.1.2有关函数介绍1.fminbnd函数利用该函数找到固定区间内单变量函数最小值。调用格式为：lx=fminbnd(fun,x1,x2)返回区间{x1,x2}上fun参数描述的标量函数的最小值x。lx=fminbnd(fun,x1,x2,options)用options参数指定的优化参数进行最小化。lx=fminbnd(fu
6、n,x1,x2,options,p1,p2,…)提供另外的参数p1,p2等，传输给目标函数fun。如果没有设置options选项，则令options=[]。l[x,fvaI]=fminbnd(…)返回解x处目标函数的值。l[x,fvaI,exitfIag]=fminbnd(…)返回exitfIag值描述fminbnd函数的退出条件。l[x,fvaI,exitfIag,output]=fminbnd(…)返回包含优化信息的结构输出。与fminbnd函数相关的细节内容包含在fun,options,exitfIag和output等参数中，如表
7、16-1所示。表16-1参数描述表参数描述fun需要最小化的目标函数。fun函数需要输入标量参数x，返回x处的目标函数标量值f。可以将fun函数指定为命令行，如x=fminbnd(inline(sin(x*x)’x0)同样，fun参数可以是一个包含函数名的字符串。对应的函数可以是M文件、内部函数或MEX文件。若fun=’ymfun’，则M文件函数myfun.m必须有下面的形式functionf=myfun(x)f=…%计算x处的函数值精彩文档实用标准文案options优化参数选项。可以用optimset函数设置或该变这些参数的值.opt
8、ions参数有以下几个选项:DispIay显示的水平。选择‘off’，不显示输出；选择‘iter’，显示每一步迭代过程的输出；选择‘final’，显示最终结果MaxFunEvaIs函数评价的最大允许次数Ma
