奥数：第讲组合问题第讲

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1、第10讲组合问题第02讲构造与论证之一【内容概述】各种形式的构造问题．解题时要不断地调整设计方案以满足全部要求，有时应从简单情形人手寻找规律．奇数与偶数在各种运算下的关系，运用奇偶性或数的整除性进行简单的论证．【典型问题】1.有一把长为9厘米的直尺，你能否在上面只标出3条刻度线，使得用这把直尺一可以量出从1至9厘米中任意整数厘米的长度?2.一个三位数，如果它的每一位数字都不超过另一个三位数对应数位上的数字，那么就称它被后一个三位数“吃掉”．例如，241被352吃掉，123被123吃掉(任何数都可以被与它相同的数吃掉)，但240和2

2、23互相都不能被吃掉．现请你设计6个三位数，它们当中任何一个都不能被其他5个数吃掉，并且它们的百位数字只允许取1，2；十位数字只允许取1，2，3；个位数字只允许取1，2，3，4．问这6个三位数分别是多少?3.盒子里放着红、黄、绿3种颜色的铅笔，并且规格也有3种：短的、中的和长的．已知盒子里的铅笔，3种颜色和3种规格都齐全.问是否一定能从中选出3支笔，使得任意2支笔在颜色和规格上各不相同?4．一个立方体的12条棱分别被染成白色和红色，每个面上至少要有一条边是白色的，那么最少有多少条边是白色的?5．国际象棋的皇后可以沿横线、竖线、斜线

3、走，为了控制一个4×4的棋盘至少要放几个皇后?6．在如图10—1所示表格第二行的每个空格内，填人一个整数，使它恰好表示它上面的那个数字在第二行中出现的次数，那么第二行中的5个数字各是几?7．在100个人之间，消息的传递是通过电话进行的，当甲与乙两个人通话时，甲把他当时所知道的一切信息全部告诉乙，乙也把自己所知道的全部信息告诉甲．请你设计一种方案，使得只需打电话196次，就可以使得每个人都知道其他所有人的信息．8．有一张8×8的方格纸，每个方格都涂上红、蓝两色之一．能否适当涂色，使得每个3×4小长方形(不论横竖)的12个方格中都恰有

4、4个红格和8个蓝格?9．桌上放有1993枚硬币，第一次翻动1993枚，第二次翻动其中的1992枚，第三次翻动其中的1991枚，……，依此类推，第1993次翻动其中的一枚．能否恰当地选择每次翻动的硬币，使得最后桌上所有的硬币原先朝下的一面都朝上?10．能否在5×5方格表的各个小方格内分别填人数1，2。…，24，25，使得从每行中都可以选择若干个数，这些数的和等于该行中其余各数之和?11．把图10—2中的圆圈任意涂上红色或蓝色．问：能否使得在同一条直线上的红圈数都是奇数?12．在99枚外观相同的硬币中，要找出其中的某些伪币．已知每枚伪

5、币与真币的重量相差奇数克，而所给硬币的总量恰等于99枚真币的重量．今有能标明两盘重量之差的天平，证明：只要称一次即可辨别出预先选择的一枚硬币是否为伪币．13．在象棋比赛中，胜者得1分；败者扣1分；若为平局，则双方各得0分．今有若干名学生进行比赛，每两人之间都赛一局．现知，其中有一个学生共得7分，另一个学生共得20分．试说明，在比赛过程中至少有过一次平局．14．如图10—3，在3×3的方格表中已经填人了9个整数．如果将表中同一行或同一列的3个数加上相同的整数称为一次操作：问：你能否通过若干次操作使得表中9个数都变为相同的数?15．今

6、有长度为1，2，3，…，198，199的金属杆各一根，能否用上全部的金属杆，不弯曲其中的任何一根，把它们焊接成(1)一个正方体框架?(2)一个长方体框架?【参考答案】1．1，2，6；1，4，7；2，5，8或3，7，8.2.114,123,132,213,222,231.3．不能．例如盒子里只有规格和颜色分别为断红、短黄短绿、中冬、长红的5支铅笔.4.3条.5.2个.6.5个数字从左到右依次是2，1，2，0，0.7．4个人通话4次可互相传递全部信息；之后每增加1个人，在最初和最后各增加1次通话即可.8.能．如图10-4，标注“红”字

7、的格染红色，其余的格染蓝色.9.能.注意1993=1+1991=2+1991=…=996+997.10.不能.因为表中所有各数之和为奇数.11．不能．因为五条线上的红圈数之和等于图中红圈数的2倍，是偶数.12.将余下的98枚硬币任意分放在天平两侧，重量差为奇数则说明事先选定的硬币是伪币.13.若无平局，则所有人的总得分奇偶性相同.14.不能．因为表中各数人之和不能被3除尽．15.(1)不能.因为所有金属杆的长度之和不能被12除尽．（2）能.注意199=l+198=2+197=…=99+100，故可焊接成一条长、宽、高分别为199×

8、12，199×12，199的长方体框架．【难度等级】三个法五幅文人画有5个特和屈辱感他前往瑞典发送的发送到法国俄国个儿而后七日后教屠夫汉文条件虽然公司的营业日的分公司问题与入口化工集团具体如何退还退伙公司股份的七月五日合同公司软腭为人体热饭围绕捍卫