对“导数”演绎创新题的探究

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1、对“导数”演绎创新题的探究　　〔关键词〕数学教学；导数；创新题　　〔中图分类号〕G633.6　　〔文献标识码〕C　　〔文章编号〕1004―0463（2014）　　08―0091―01　　纵观近五年高考数学“导数”章节的试题，不难发现试题立意朴实又不失新颖，选材源于教材而又高于教材，着重考查考生对数学本质的理解，宽角度、多视点、有层次地考查了数学理性思维.例如，抽象函数的图象与x轴及交点个数的问题，抽象函数的图象与直线的交点问题.下面，笔者就对这个考点演绎的创新题进行探究.　　一、问题的基本图解　　■　　图4直线

2、与曲线有四个交点　　由上述图组不难得出，曲线y=f（x）与x轴（或直线）是否有交点或有几个交点，都与曲线的极值有着紧密的联系.　　探究1（全国卷）已知函数f（x）=x3-x.　　（1）求曲线y=f（x）在点M（t，　　f（t））处的切线方程；　　（2）设a>0.如果过点（a，b）可作曲线y=f（x）的三条切线，证明：3　　-a

3、曲线y=　　f（x）的三条切线，则方程2t3-3at2+a+b=0有三个相异的实数根.　　令g（t）=2t3-3at2+a+b，则g′（t）=6t2-6at=6t（t-a）.　　当t∈（-∞，0）和（a，+∞）时，　　g′（t）>0，即g（x）单调递增；当t∈（0，a）时，g′（t）<0，即g（t）单调递减.　　则g（t）极大值=a+b，而g（t）极小值=b-f（a）.要使g（t）=0有三个相异的实数根，由上述图1可得：g（x）极大值=a+b>0g（x）极小值=b-f（a）<0成立.　　化简整理得：-a

4、（a）成立.　　二、得出的重要结论　　结论1：若曲线y=f（x）的图象与x轴有三个交点，则曲线y=f（x）满足条件：f（x）极大值>0f（x）极小值<0.　　结论2：若曲线y=f（x）的图象与x轴有两个交点，则曲线y=f（x）满足条件：f（x）极大值>0f（x）极小值=0　　或f（x）极大值=0f（x）极小值<0　　结论3：若曲线y=f（x）的图象与x轴有一个交点，则曲线y=f（x）满足条件：f（x）极大值0　　探究2：已知函数f（x）=lnx，3　　g（x）=x.　　（1）若x>1，求证：f（x）>2g（■）

5、；　　（2）是否存在实数k，使方程■g（x2）-f（1+x2）=k有四个不同的实数根？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由.　　点评：（1）令F（x）=f（x）-2　　g（■）=lnx-■，则F′（x）=■.　　当x>1时，F′（x）=■>0.　　∴F（x）在x∈[1，+∞）上是单调递增的，故F（x）>F（1）=0.　　∴f（x）>2g（■）.　　（2）令h（x）=■g（x2）-f（1+x2）=■x2-ln（1+x2）.　　则由h′（x）=■=■=0，得x1=-1，x2=0，x3=1.　　当x∈（-∞，

6、-1）和（0，1）时，　　h′（x）0，即h（x）单调递增.　　故h（x）极小值=h（-1）=h（1）=■-ln2，h（x）极大值=h（0）=0.　　结合图4，当kh（x）极小值=■-1n2成立时，方程■g（x2）-f（1+x2）=k有四个不同的实数根，即k∈（■-ln2，0）.　　？笙编辑：谢颖丽3