2016年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）全国甲卷（2卷）

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1、2016全国（Ⅱ）理一、选择题（共11小题；共55分）1.已知z=m+3+m−1i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是  A.−3,1B.−1,3C.1,+∞D.−∞,−32.已知集合A=1,2,3，B=xx+1x−2<0,x∈Z，则A∪B=  A.1B.1,2C.0,1,2,3D.−1,0,1,2,33.已知向量a=1,m，b=3,−2，且a+b⊥b，则m=  A.−8B.−6C.6D.84.如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为  A.24B.18

2、C.12D.95.圆x2+y2−2x−8y+13=0的圆心到直线ax+y−1=0的距离为1，则a=  A.−43B.−34C.3D.26.如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为  A.20πB.24πC.28πD.32π7.若将函数y=2sin2x的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为  A.x=kπ2−π6k∈ZB.x=kπ2+π6k∈ZC.x=kπ2−π12k∈ZD.x=kπ2+π12k∈Z第10页（共10页）8.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x=2，n

3、=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=  A.7B.12C.17D.349.若cosπ4−α=35，则sin2α=  A.725B.15C.−15D.−72510.从区间0,1随机抽取2n个数x1，x2，⋯，xn，y1，y2，⋯，yn，构成n个数对x1,y1，x2,y2，⋯，xn,yn，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为  A.4nmB.2nmC.4mnD.2mn11.已知F1，F2是双曲线E：x2a2−y2b2=1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=13，则E的离心率为  A.

4、2B.32C.3D.2二、填空题（共1小题；共5分）12.三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=45，cosC=513，a=1，则b= ．三、选择题（共1小题；共5分）13.已知函数fxx∈R满足f−x=2−fx，若函数y=x+1x与y=fx图象的交点为x1,y1，x2,y2，⋯，xm,ym，则xi+yii=1m=  A.0B.mC.2mD.4m四、填空题（共3小题；共15分）第10页（共10页）14.有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，

5、乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 ．15.α，β是两个平面，m，n是两条线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β．②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n．③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β．④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．则上述四个命题真命题的是 16.若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=lnx+1的切线，b= ．五、解答题（共8小题；共104分）17.Sn为等差数列an的前n项和，且a1=1，S7=28．记bn

6、=lgan，其中x表示不超过x的最大整数，如0.9=1，lg99=1．（1）求b1，b11，b101；（2）求数列bn的前1000项和．18.某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数01234≥5保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次数01234≥5概率0.300.150.200.200.100.05（1）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（2）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基

7、本保费高出60%的概率；（3）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．19.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E，F分别在AD，CD上，AE=CF=54，EF交BD于点H．将三角形DEF沿EF折到三角形DʹEF的位置ODʹ=10．（1）证明：DʹH⊥平面ABCD；（2）求二面角B−DʹA−C的正弦值．第10页（共10页）20.已知椭圆E:x2t+y23=1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为kk>0的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．（1）当t=4，AM=AN时，求三角形AMN的面积；（2）当2AM=AN时

8、，求k的取值范围．21.（1）讨论函数fx=x−2x+2⋅ex的单