小学奥数—抽屉原理

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时间:2019-01-27

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1、.小学奥数-抽屉原理(一)  先了解一下抽屉原理的概念,然后结合一些较复杂的抽屉原理问题,讨论如何构造抽屉。  抽屉原理1将多于n件物品任意放到n个抽屉中,那么至少有一个抽屉中的物品不少于2件。  抽屉原理2将多于m×n件物品任意放到到n个抽屉中,那么至少有一个抽屉中的物品不少于(m+1)件。  理解抽屉原理要注意几点:(1)抽屉原理是讨论物品与抽屉的关系,要求物品数比抽屉数或抽屉数的倍数多,至于多多少,这倒无妨。  (2)“任意放”的意思是不限制把物品放进抽屉里的方法,不规定每个抽屉中都要放物品,即有些抽屉可以是

2、空的,也不限制每个抽屉放物品的个数。  (3)抽屉原理只能用来解决存在性问题,“至少有一个”的意思就是存在,满足要求的抽屉可能有多个,但这里只需保证存在一个达到要求的抽屉就够了。(4)将a件物品放入n个抽屉中,如果a÷n=m……b,其中b是自然数,那么由抽屉原理2就可得到,至少有一个抽屉中的物品数不少于(m+1)件。例1五年级有47名学生参加一次数学竞赛,成绩都是整数,满分是100分。已知3名学生的成绩在60分以下,其余学生的成绩均在75~95分之间。问:至少有几名学生的成绩相同?分析与解:关键是构造合适的抽屉。既

3、然是问“至少有几名学生的成绩相同”,说明应以成绩为抽屉,学生为物品。除3名成绩在60分以下的学生外,其余成绩均在75~95分之间,75~95共有21个不同分数,将这21个分数作为21个抽屉,把47-3=44(个)学生作为物品。例2夏令营组织2000名营员活动,其中有爬山、参观博物馆和到海滩游玩三个项目。规定每人必须参加一项或两项活动。那么至少有几名营员参加的活动项目完全相同?分析与解:本题的抽屉不是那么明显,因为问的是“至少有几名营员参加的活动项目完全相同”,所以应该把活动项目当成抽屉,营员当成物品。营员数已经有了

4、,现在的问题是应当搞清有多少个抽屉。例3把125本书分给五(2)班学生,如果其中至少有1人分到至少4本书,那么,这个班最多有多少人?...分析与解:这道题一下子不容易理解,我们将它变变形式。因为是把书分给学生,所以学生是抽屉,书是物品。本题可以变为:125件物品放入若干个抽屉,无论怎样放,至少有一个抽屉中放有4件物品,求最多有几个抽屉。这个问题的条件与结论与抽屉原理2正好相反,所以反着用抽屉原理2即可。例4五(1)班张老师在一次数学课上出了两道题,规定每道题做对得2分,没做得1分,做错得0分。张老师说:可以肯定全班

5、同学中至少有6名学生各题的得分都相同。那么,这个班最少有多少人?分析与解:由“至少有6名学生各题的得分都相同”看出,应该以各题得分情况为抽屉,学生为物品。例3与例4尽管都是求学生人数,但因为问题不同,所以构造的抽屉也不同,例3中将学生作为抽屉,例4中则将学生作为物品。可见利用抽屉原理解题,应根据问题灵活构造抽屉。一般地,当问“最少有多少××”时,应将××作为物品,如例1,2,4;当问“最多有多少××时,应将××作为抽屉,如例3。例5任意将若干个小朋友分为五组。证明:一定有这样的两组,两组中的男孩总数与女孩总数都是偶

6、数。分析与解:因为一组中的男孩人数与女孩人数的奇偶性只有下面四种情况:  (奇,奇),(奇,偶),(偶,奇),(偶,偶)。...练习  1.某单位购进92箱桔子,每箱至少110个,至多138个,现将桔子数相同的作为一组,箱子数最多的一组至少有几箱?  2.幼儿园小朋友分200块饼干,无论怎样分都有人至少分到8块饼干,这群小朋友至多有多少名?  3.有若干堆分币,每堆分币中没有币值相同的分币。任意挑选多少堆分币,才能保证一定有两堆分币的组成是相同的?  4.图书馆有甲、乙、丙、丁四类图书,规定每个同学最多可以借两本不

7、同类的图书,至少有多少个同学借书,才能保证有两个人所借的图书类别相同?  5.我国人口已超过12亿,如果人均寿命不超过75岁,那么我国至少有两个人出生的时间相差不会超过2秒钟。这个结论是否正确?  6.红光小学五(2)班选两名班长。投票时,每个同学只能从4名候选人中挑选2名。这个班至少应有多少个同学,才能保证有8个或8个以上的同学投了相同的2名候选人的票?  7.把135块饼干分给16个小朋友,若每个小朋友至少要分到一块饼干,那么不管怎样分,一定会有两个小朋友得到的饼干数目相同。为什么?...小学奥数-抽屉原理(二

8、)专题简析:在抽屉原理的第(2)条原则中,抽屉中的元素个数随着元素总数的增加而增加,当元素总数达到抽屉数的若干倍后,可用抽屉数除元素总数,写成下面的等式:元素总数=商×抽屉数+余数如果余数不是0,则最小数=商+1;如果余数正好是0,则最小数=商。例题1:幼儿园里有120个小朋友,各种玩具有364件。把这些玩具分给小朋友,是否有人会得到4件或4件以上的玩具?把

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