一题多解一题多变

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1、初中数学解题教学设计——复习《三角形》具体操作：限定时间15分钟1、学生先在学习卡上独立完成；2、4人小组互相补充；3、教师多媒体对答案。二、典型例题学习卡：例：如图，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，BD交OC于点P,AC交OB于点Q,连结BC．求证：BD=AC.你还能得出哪些正确的结论呢？请选择其中的一个进行证明。PQCBODAE具体操作：1、对于第一个问题要求学生独立思考并寻求解题方法；2、学生在学习卡上单独完成至少

2、一种解答，鼓励多种解答；（给予充分的时间）3、4人小组互相讨论补充不同的解题方法并将不同的7/7方法汇总到小组长处；（学生答题讨论时教师多巡视、指导、发现不同的解题方法）1、教师将各小组不同的解题方法汇总，并用多媒体进行展示，同时提供解题方法者上台讲解，教师给予适当点评和表扬；2、根据不同的解答过程学生进一步思考，还能得出哪些正确的结论，要求结论尽可能多；3、教师将各小组不同结论汇总、筛选并要求学生证明。4、各组挑选代表讲演，教师适时作出鼓励与点评。8、请4人小组讨论交流，选出比较简单、合理又具有普遍意义的解法

3、。学生解题方法摘录：方法一：（用得最多）用SAS证明⊿BOD≌⊿AOC,再用全等三角形对应边相等证明AC=BD.方法二：（用得较多）PQCBODAE用ASA或SAS或AAS证明⊿ABD与⊿DCA是全等三角形，再用全等三角形对应边相等得到AC=BD方法三：先证明BO=DOCO=AOAB=BC=CD∠BOD=∠AOC=∠BCD=∠ABC=120°再利用等腰三角形的性质等边对等角，计算出∠EDA=∠EAD=∠EBC=∠ECB=30°7/7然后运用等腰三角形的判定等角对等边证明AE=DE,BE=CE从而得到AC=BD.

4、方法四：先证明四边形ABCD是等腰梯形，再利用等腰梯形的性质对角线相等得到AC=BD。方法五：先证明⊿AOB、⊿COD、⊿BOC是全等的等边三角形，从而高相等，再证明DP、BP、AQ、CQ分别是等边三角形的高，所以AC=BD=2倍高方法六：先证明⊿ABD与⊿DCA是直角三角形，再用HL证明全等，根据对应边相等得到AC=BD；或是用勾股定理正得AC2=BD2,从而得到AC=BD。方法七：PQCBODAE证明四边形ABCO和四边形DCBO是全等的菱形，而对角线BO=CO,从而AC=BD.方法八：如图,先证明A、B、

5、C、D在以O为圆心，以AO为半径的一个圆上，再证明弧BD=弧AC，从而得到AC=BD.或者利用圆心角∠BOD=∠AOC，从而得到AC=BD.学生得出的结论摘录：四边形ABCD为等腰梯形，四边形ABCO为菱形，OP=OQ,⊿CEB∽⊿AED且相似比为1︰2,7/7⊿BQE∽⊿AQO,∠AEB=60°,BE︰PE︰DP=2︰1︰3,CE2=PE·DE,OP为⊿ABD的中位线，⊿OPQ为等边三角形等。教学反思：学生开始单独完成解答时，一般都只能想到一两种解题方法，后来通过小组讨论交流之后，基本上每个小组都能拿出四种以

6、上的方法，效果非常显著，在这个环节，小组合作起到了至关重要的作用。将每个小组的方法汇总、点评之后，为后来得出其他一些正确结论作了恰当的铺垫，所以学生都能得到五种以上不同的正确结论。这时，学生思路被完全打开，也为证明其他没能想到的正确结论打下了基础。非常难得的是学生能广泛进行联想把所学的圆、四边形等知识与三角形密切联系起来，创造性地应用所学到的各种知识和方法去解决问题，实现了知识的正向迁移，真正有效地提高了学生的问题解决能力。三、课后变式训练学习卡：变式一：（利用旋转进行变式）QPCBODAE⊿AOB固定不动，保

7、持⊿COD形状大小不变，将⊿COD绕点O旋转（两三角形不重叠），则以上所得结论还成立吗？7/7变式二：（利用平移进行变式）CODABE若点O是线段AD上一动点，则以上结论还成立吗？⊿COD再绕点O旋转呢？变式三：（改变条件进行变式）若将⊿AOB和⊿COD改为全等的等腰三角形呢？教学反思：由于课堂时间有限，这个环节没能在课堂上完成，所以只能请学生课后完成。将例题变化、拓展后，要求学生找出变式与例题的相同和不同之处，从而找出问题的实质，从而顺利的解决这些问题。特别提示∠AEB=60°、OP=OQ等结论是否还成立？若

8、成立，要求学生进行证明。并从中总结、概括解题方法，得出一般规律。7/7设计意图：本堂课是初三的一节复习课，立足于使学生牢固掌握基础知识和基本技能，并能灵活运用知识进行独立思考，选择具有典型性、探索性、多解性、拓展性的例题，并通过小组合作培养了学生思维的灵活性、深刻性、广阔性、批判性和创造性等良好的思维品质，从而有效地提高解题能力。设计框架:学生复习知识点——学生独立思考例题——学生书写