教学内容：弦切角

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1、教学内容：弦切角 【学习目标】1．理解弦切角的概念，掌握弦切角定理及其推论，并会运用它们解决有关问题．2．通过弦切角定理的证明，进一步了解分情况证明数学命题的思想和方法． 【主体知识归纳】1．顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．2．弦切角等于它所夹弧所对的圆周角．3．如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等． 【基础知识讲解】1．弦切角的定义要注意以下两点：(1)角的顶点在圆上，实际上就是角的顶点是圆的一条切线的切点；(2)角的一边是过切点的一条弦(所在的射线)，角的另一边是切线上以切点为端点的一条射线．2．弦切角定理的证明与圆周角定

2、理的证明相仿，也分三种情况．第一种情况是特殊情况，其他两种是一般情况，通过作辅助线可转化为第一种情况．3．弦切角是与圆有关的又一种角，要能在图形中准确地识别，并能正确应用弦切角定理及其推论．它给我们提供了证明角相等的又一个重要依据，它常常与圆周角、圆心角性质联合应用来进行证明、求解． 【例题精讲】例1：如图7—170，△ABC中，AD为∠A的平分线，⊙O过A点切BC于D点，且与AB、AC分别交于E、F点．求证：EF∥BC．剖析：欲证EF∥BC，可证同位角相等或内错角相等．由于同位角的关系不易找，所以设想构造内错角，连结DF，因为∠4是弦切角，所以∠4＝∠2,又∠3

3、＝∠1,∠1＝∠2,易得∠3＝∠4．证明：连结DF．BC是切线EF∥BC．说明：(1)本例通过作辅助线DF，利用弦切角定理、圆周角定理的推论，证明两个角相等，从而证得两直线平行．体现观察、分析、构造、联想、综合解决问题的几个环节．观察、分析、联想、构造、综合应用是解决几何问题的重要手段．(2)本例中，设AD与EF交于G．有结论：DF2＝DG·DA．例2：如图7—171，已知⊙O的弦AB∥CD，过A点作⊙O的切线交CD的延长线于E．求证：AD2＝DE·AB．剖析：欲证AD2＝DE·AB，需证AD：DE＝AB：AD．因为AB∥CD，所以＝，知BC＝AD，需证AD：DE

4、＝AB：BC．连结AC，只需证△ABC∽△ADE即可．证明：连结AC，说明：(1)本例是利用弦切角定理和圆内接四边形的性质定理，找出相等的角，然后在证明三角形相似的基础上再证明等积式．这种方法在以后证题时还要用到，要注意掌握．(2)本题还可直接连结BD，证△ABD∽△ADE．例3：如图7—172，AB为⊙O的直径，过B点作⊙O的切线BC，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点D．(1)求证：CE2＝CD·CB；(2)若AB＝BC＝2cm，求：CE、CD的长．剖析：要证CE2＝CD·CB，连结BE，证△CED∽△CBE即可．(1)证明：连结BE．由(1)知CE2＝

5、CD·CB，而CB＝2，∴(－1)2＝2·CD，∴CD＝(3－)cm．说明：有切线，并需要寻找角的关系时常添辅助线，为利用弦切角定理创造条件．例4：如图7—173，AB是半圆O的直径，AC⊥AB，BD⊥AB，CD切⊙O于E． 求证：OE2＝AC·BD．证法一：连结AE、OE、BE．∵AB是⊙O的直径，BD⊥AB，CA⊥AB∴CA、DB是⊙O的切线．∵CD切⊙O于E，∴CE＝CA，∴∠CAE＝∠CEA．∵OB＝OE，∴∠OEB＝∠OBE．∵∠CAE＝∠OBE，∴∠CAE＝∠CEA＝∠OBE＝∠OEB．∴△ACE∽△BOE．∴．同理可证△AOE∽△BDE．∴．∴．则O

6、E2＝AC·BD．证法二：如图7—174，分别延长DC、BA交于点P，连结OE、AE、BE．∵CD是⊙O的切线，∴OE⊥CD即∠PEO＝90°又CA⊥AB，DB⊥AB∴∠CAP＝∠DBP＝90°∴Rt△PAC∽Rt△PEO∽Rt△PBD．则．∵PD是⊙O的切线，∴∠PEA＝∠EBP．∴△PEA∽△PBE．∴．∴．即OE2＝AC·BD．证法三：如图7—175，连结OC、OD∵CD、AC、BD分别是⊙O的切线，∴AC＝CE，BD＝DE，∠1＝∠3，∠2＝∠4，AC∥BD．∴∠1＋∠2＝(∠ACD＋∠BDC)＝×180°＝90°．∴OE⊥CD． ∴△OCE∽△ODE．∴

7、OE2＝CE·BE．∴OE2＝AC·BD．说明：(1)此例是以切线的判定、切线的性质、弦切角、切线长定理、相似三角形等知识构成的．证法一、证法三中要用到切线长定理及切线的性质，所以要先证明CA、BD是圆的切线．(2)本例题的结论是证明线段成比例，前两种证法用“等比代换”，第三种证法是“等线段代换”．思路是这样分析的：结论中的三条线段OE、AC、BD不在一个三角形中，则不能直接用三角形相似来解决．由于图中有和OE、AC、BD相等的线段，所以可以想到用“等线段代换”．例5：如图7—176，设点P是等边三角形ABC外接圆上的一点，AP交BC于D．求证：(1)PA＝PB＋

8、PC；(2