数列复习教学中的重难疑热点综述

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1、数列复习教学中的重难疑热点综述210008南京外国语学校李平龙数列是高中数学的重点内容，是现代信息文明的基石.传统教材是将数列内容安排在高中二年级与数学归纳法进行同步教学的,教学效果较好；而现行教材不仅将数列与数学归纳法割裂,而且将数列内容提前至高中一年级的上学期进行教学,限于当时高中生的数学知识匮乏、数学能力低下，即使是相同的教学内容学习的效果也大相径庭（即将实施的高中数学新课标也改变了这一不合理的作法）.然而，高考命题并未关注到教材安排上的这一变化而改变数列在高考中的地位与难度，纵观近两年的全国卷及各省市自主命制的高考试卷，每卷必有

2、数列解答题且半数以上的试题处在压卷题的位置.可见,数列内容复习的好坏,直接决定着未来数学高考的成败.本文将透析数列复习中的重、难、疑、热等四点，旨在揭露本质，把握规律.1重点——等差与等比数列的基础知识等差数列与等比数列是学生最先熟悉的两个基本数列，它们是一切数列问题的出发点与归宿，其产生、演变与深化的过程中蕴藏着丰富的数学思想方法，复习中应充分体现过程胜于结果的原则.1．1基础知识从第二项起每一项与前一项的差是同一个常数，这是等差数列的本质，其符号语言：或则是学生逻辑思维的基础，从中虽未看到常数，但却深信“差等”的事实，不能不说是抽象

3、符号的神奇；而由定义出发产生的等差数列的通项公式却隐藏着研究数列问题的诸多方法：归纳法、迭加法、迭乘法、迭代法，为学习一般数列提供了知识保障；等差数列前n和公式的推导过程中使用了加两次（倒加法）的思想方法，其几何特征类似于梯形的面积公式.1．2基本思维横向类比思维可轻松地掌握等比数列相关知识及其产生过程中的数学方法；若能感悟出两种数列间类比的“规则”，便可从等差数列相关知识出发经大胆猜想发现等比数列可能具有的相应知识.如上海高考题:“在等差数列{an}中，若a10=0，则有等式a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n(n〈19，

4、n是正整数).类比上述性质，相应地，在等比数列{bn}中，若b9=0，则有等式”便如此.而逆向探索思维则可深化两数列的基础知识，下仅以等差数列为例说明之：从等差数列的通项公式出发逆向探索发现，若an=an+b，则数列{an}是等差数列；可见，等差数列就是一次函数或常函数.从前n项和公式出发探索发现,若数列{an}的前n项和为Sn=an2+bn,则数列{an}是等差数列；若数列{an}的前n项和，则数列{an}是等差数列.前者不仅告诉我们等差数列与二次函数密切相关,而且教会我们怎样由和项去求通项；而后者则结出了处理涉及和项与通项的递推公式

5、的一般思维方法，详见后文.1．3基本方法第8页共8页因等差(比)数列是由首项与公差(比)确定的,故称首项与公差(比)为等差(比)数列的基本量；因此，大凡涉及等差(比)数列的数学问题,我们总希望通过等差(比)数列的基础知识并结合条件去求出首项与公差(比)、或它们间关系，从而达到解决问题之目的，这种方法就是等差（比）数列特有的基本量方法；简言之,就是用基本量去统一条件与结论而达到解决等差（比）数列相关问题的方法.例1已知正项等比数列的公比为q，且，求使成立的正整数n的集合.分析:本题实为解关于n的不等式.用基本量去统一条件得：a1q7=1；

6、一般地,视不等式左边为首项是a1、公比是q的等比数列的前n项和，右边为首项是、公比是的等比数列的前n项和，经讨论后可获通法指引下的繁解；若视不等式右边为首项是、公比是q的等比数列的前n项和，则繁解已被简化；而灵活应用等比数列的基础知识，可将原不等式转化为：,由此可获通法指引下的优美解:因为,所以原不等式同解于，即.故原不等式的解集,当q>1时为；当0

7、p，求Sp+q的值,若呆板地执行基本法方法,则必费时费力甚至无功而返.2热点——数列求和与求通项通过两个基本数列的学习，在化归与转化中认识更多的数列，是数列教学的隐性目标.而在数列的学习中最能充分体现知识应用的没过于数列求和与求通项了,它们也恰好构成了数列研究的热点.2.1数列求和这里系指求数列的有限的前n项之和.若为等差(比)数列,则直接用公式求和；若非等差（比）数列，则需寻找间接求和的方法.一般地,当数列的通项为分式时,常考虑用“裂项相消法”去求前n项和；当数列的通项恰好是等差数列与等比数列相应项的积时，则必用“错位相减法”，此乃推

8、导等比数列求和公式时的数学方法；当通项可分解成等差或等比数列相应项的代数和时，一般选用“分组求和法”.通过数列求和的复习教学,务必让学生把握求和的基本思维途径:抓通项—思变形—选方法.第8页共8页例2已知