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1、函数综合性问题1•设f(x)是定义在R上的偶函数,对于任意的XWR,有f(x+2)=f(x)・f(l),且当XE(-1,0］吋，f(x)=(
2、)x-l.^在区间(一1,3］内关于x的方程f(x)-loga(x+2)=0恰有3个不同的实数解，则a的取值范围是(C)A.(1,3)B.(2,4)C.(3,5］D.［4,6)-123兀O解析：由f(x)是定义在R上的偶函数，对于任意的xeR,有f(x+2)=f(x)・f(l),令X二1可得f(l)=0,则有f(x+2)=f(x),所以函数f(x)是周期函数，且周期为2.又当xe(-1,0］Bt,f(x)=(
3、)x-l.结
4、合周期性和奇偶性可作函数f(x)在区间(一1，3］内的大致图像如图：于x的方程f(x)-loga(x+2)=0恰有3个不同的实数解等价于函数f(x)在区间(一1,3］内的图像和函数g(x)=loga(x+2)的图像恰有3个不同的交点。故｛黜;;推出3f(x)g(x),且f(x)=ax-g(x)(a>0且a/1),器+赭*，若数列眯｝的前n项和大于62,则n的最小值为(A)A.6B.7C.8D.9解析：令h(x)=齢，则h，(x)="X)覽鳥严(X)，由已知可得h
5、，(x)>0,所以h(x)在定义域上为增函数，即y二a"在R上为增函数。所以a>l.由寻*+¥得：a+a¥，解得a=2.所以％益=2n,｛册｝的前n项和Sn=2n+1-2>62>得n>5,故n的最小值为6.故选A。本题结合题中条件构造函数是关键。变式1.设函数f(x)是定义在(一8,0)上的可导函数，其导函数为F(x),且有xf(x)>x2+3f(x),则不等式8f(x+2014)+(x+2014)3f(・2)>0的解集为(A)A.(-oo,.2016)B.(-2018,-2016)C.(-2018,0)D.(・8,・2018)解析：由8f(x+2014)+(x
6、+2014)3f(-2)>0得：(x+2014)3f(-2)>(-2)3f(x+2014),不妨令x+2014v0,可得：膨>驚霭，从而构造函数g(x)=爭(x<0),其导函数为g，(x)=f(x)x：?x2f(x),由已知xf(x)>x?+3f(x),得x'f(x)-3x2f(x)>x4>0,g'(x)>0在(—8,0)上恒成立，g(x)在(・8,0)上为增函数，故原不等式等价于g(・2)>g(x+2014),解得・2>x+2014,即：x<-2016选A.小结：这两道题都是结合函数及其导数满足的相应关系，结合求导法则构造相应的函数，利用新函数的单调性解决方程
7、或不等式的方法。具体构造什么样的函数视所考虑的问题而定，如变式1中，结合目标不等式，通过对不等式作等价变形，去发现不等式左右两边的共同特征，从而抽象出题中所需要的函数。然后结合题中所给的导数关系去考虑新函数的单调性。达到求解的目的。2.已知函数f(x)在R上满足f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8jlj曲线y=f(x)上的点到直线y=2x-5的距离的最小值是一誓。解析：本题考查利用方程思想求函数解析式的方法，以及函数或数形结合思想求最值。由f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8得f(2-x)=2f(x)-(2-x)2+8(2-x)-8,K立方程解得f(x)
8、=x2.所以f(x)=2x,向曲线y=f(x)方向平移直线y=2x-5,当直线与曲线相切时，切点为到直线y=2x-5最近的点。所以y=f(x)在切点处的切线斜率k=y~2,故切点为(1,1),所以曲线上的点到直线的最小距离,12x1-1-514击=5°3.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x)+l,且当xW[0,1]时,f(x)=¥,当xG(1,2)时,f(x)二孕.令g(x)=2f(x)-x-4,xe[-6,-2],由函数g(x)的零点个数为(B)-Ill若方程af2(x)+bf(x)+c=O有8个不同的实根，则此8个实根之和是(D)A.号B.
9、4C.*D.2解析：设f(x)二t,则方程af2(x)+bf(x)+c=O即为at2+bt+c=0,作出函数f(x)的图像，如图，由图像可知，当t>0时，方程f(x)=t有4个根，且两两关于直线x二+对称，则这四个根的和为1,若方程af2(x)+bf(x)+c=O有8个不同实根，则关于t的方程at2+bt+c=O有2个不同的正数根，则这8个根的和是2.故选D。6.已知定义域为R的函数满足以下条件：①X/xWR,f(・x2+6x・8)=g(x);②g(x)二g((x+2);③当xe[2,3]时,g(x)=-2x2+12x-18.若方程g(x)=loga(
10、x
11、+l
12、)ffi区间(0,+«)
